Maicon, boa noite!
Sei que a explicação ficou um pouco extensa... mas... em que ponto não entendeu? Tudo não pode ser!
Aguardo...
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| Autor: | Maicon [ 19 fev 2015, 10:48 ] |
| Título da Pergunta: | Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Prezados Colegas, Eis a questão: A medida em graus do ângulo interno de um polígono regular e um número inteiro. Determine o número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade. |
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| Autor: | Baltuilhe [ 19 fev 2015, 14:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Bom dia! A soma dos ângulos internos de um polígono pode ser encontrada em função do seu número de lados 'n'. \(S_i=180^{\circ}(n-2)\) Como o polígono possui 'n' lados, e é um polígono regular, cada ângulo interno pode ser obtido pela seguinte relação: \(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\) Como a soma entre o ângulo interno e o ângulo externo do polígono vale 180 graus, podemos obter a medida de um ângulo externo da seguinte forma: \(a_i+a_e=180^{\circ} \frac{180^{\circ}(n-2)}{n}+a_e=180^{\circ} a_e=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}(n-2)}{n} a_e=\frac{180^{\circ}n-180^{\circ}+360^{\circ}}{n} a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\) Bom, como queremos saber quantos polígonos possuem ângulos internos com medida inteira precisamos encontrar todos os valores de 'n' que dividem o número 180 e também o número 'n-2', certo? Fica mais fácil procurar quantos valores de 'n' dividem somente o número \(360^{\circ}\). Bom, decompondo o número 360 em fatores primos, temos: \(360=2^3\times 3^2\times 5\) Com estes fatores, multiplicando os expoentes acrescidos de 1, temos a seguinte quantidade de divisores para o número 360: \((3+1)(2+1)(1+1)=4\times 3\times 2=24\) Destes divisores os únicos que não formam polígonos são o número 1 e o número 2. Portanto, há 22 polígonos que possuem ângulos externos como ângulos inteiros. Consequentemente, há também os mesmos 22 polígonos que possuem ângulos internos como números inteiros. Vou listá-los abaixo (todos os divisores de 360 exceto o 1 e o 2) {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360} Espero ter ajudado! |
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| Autor: | Maicon [ 24 fev 2015, 16:23 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Colega, está um pouco complexo... =/ Tem como explicar de uma forma mais resumida e simples? Grato. |
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| Autor: | Baltuilhe [ 25 fev 2015, 01:09 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Maicon, boa noite! Sei que a explicação ficou um pouco extensa... mas... em que ponto não entendeu? Tudo não pode ser! Aguardo... |
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| Autor: | Maicon [ 25 fev 2015, 01:31 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Pois é.. Li e reli, mas parece que faltou a "cereja" do bolo, entende? Quando passou pra decomposição em fatores primos, ficou tudo escuro, rsrs Mas agradeço Baltuilhe, de qualquer forma... |
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| Autor: | Baltuilhe [ 25 fev 2015, 11:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Maicon, bom dia! Para encontrarmos os polígonos regulares que possuem como medida de seus ângulos internos um número inteiro precisamos encontrar uma fórmula para este cálculo, que foi o que fizemos. Cada ângulo interno pode ser obtido por esta fórmula: \(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\) E cada ângulo externo por esta: \(a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\) Veja que se fosse buscar os valores de n múltiplos de 180 (para poder dividir e retornar um número inteiro) e também múltiplos de (n-2) ficaria mais difícil do que somente buscar todos os múltiplos de 360. Este foi o motivo pelo qual procurei os valores de n pelas medidas dos ângulos externos, e não pelos ângulos internos. Para decompor em fatores primos vamos relembrar: \(\begin{tabular}{c|c} 360 & 2 \\ 180 & 2 \\ 90 & 2 \\ 45 & 3 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \overline{2^3\cdot 3^2\cdot 5} \end{tabular}\) Agora, utilizando os expoentes (3, 2 e 1, respectivamente, expoentes dos fatores primos 2, 3 e 5) podemos chegar na quantidade de divisores do número 360. Soma-se 1 a cada expoente e multiplicamos todos os valores obtidos: \((3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24\) Existe uma forma prática de encontrarmos os 24 divisores de 36, também aproveitando a técnica de fatoração em números primos. Veja que começamos com um valor 1 no canto superior direito. Este número 1 multiplicará cada fator primo. Então veja que 1x2 = 2. Depois o 2x2 = 4 (na próxima linha) Depois 2x4 = 8. Agora, ao mudar do fator primo de 2 para 3, voltamos para o número 1, e multiplicamos todos os números para encontrar os divisores com o 3. Então, como tínhamos 1, 2, 4 e 8, estes são os números para multiplicar por 3, gerando a linha 3, 6, 12 e 24. Agora, para o próximo 3, não precisamos voltar desde o início, mas temos que tomar os 4 últimos valores para encontrar os próximos. A mesma coisa vai acontecer quando mudarmos do fator primo 3 para o 5. Volta-se ao início, e encontra-se todos os múltiplos desde o 1, 2, 4, 8, 3... até o 72. \(\begin{tabular}{c|c|l} & & 1 \\ 360 & 2 & 2 \\ 180 & 2 & 4\\ 90 & 2 & 8\\ 45 & 3 & 3 - 6 - 12 - 24\\ 15 & 3 & 9 - 18 - 36 - 72\\ 5 & 5 & 5 - 10 - 20 - 40 - 15 - 30 - 60 - 120 - 45 - 90 - 180 - 360\\ \end{tabular}\) Após ter encontrado todos os divisores de 360, temos que analisar quais deles não são polígonos. No caso, somente o 1 e o 2 (não temos polígonos com menos do que 3 lados). Sobram 22 valores, que são os que escrevi na resposta. {3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360} Espero ter ajudado um pouco mais
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| Autor: | Maicon [ 25 fev 2015, 12:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz |
Bom dia caro Baltuilhe! Estou analisando minuciosamente e estou começando a entender seu raciocínio. Tmb estou retomando alguns conceitos, como o Princípio Fundamental da Contagem. Como a questão não pede os polígonos, mas sim a quantidade de polígonos, vou me ater em ser objetivo e responder apenas 24-2 = 22 polígonos. Agradeço muito e espero contar com vc daqui por diante e vice-versa! |
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