Fórum de Matemática
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Seja \(f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\) uma função tal que \(f(x+y)= f(x) + f(y)\)
e \(f(x.y)= f(x).f(y)\), quais quer \(x, y \in \mathbb{R}\). Prove que:
a) f(0) = 0
b) f(X) = 1 para \(x\in \mathbb{R}\), ou então f(1) = 1 e f é injetivo.

Creio que há uma gralha no enunciado na alínea b). Deveria estar f(x)=0 para todo o x real em vez de f(X)=1 para x real. Isto porque f constante igaul a 1 não satisfaz a condição f(x+y)=f(x)+f(y), enquanto f constante igual a 0 satisfaz as duas condições do enunciado e não é injetiva.

a) Provar que f(0)=0 é só questão de tomar x=y=0 na condição aditiva: f(0+0)=f(0)+f(0) (logo f(0)=2f(0) o que implica que f(0)=0).

b) É fácil ver que a função nula satisfaz as condições aditiva e multiplitiva. Vamos então considerar o caso em que f não é nula. Então existe um número real z tal que \(f(z)\not= 0\) que pela alínea a) terá de ser não-nulo. Então temos que:
\(f(1)=\frac{f(1)\cdot f(z)}{f(z)}=\frac{f(1\cdot z)}{f(z)}=\frac{f(z)}{f(z)}=1\)
Do facto de f(1)=1 tiramos que se \(x\not=0\) então \(f(x)\not=0\) pois \(f(x)f(x^{-1})=f(1)=1\not=0 \Rightarrow f(x)\not=0\).
Finalmente este facto mostra que f é injetiva, pois f(x)-f(y)=f(x-y)=0 se e só se x-y=0.

PS: Este exercício pode também ser resolvido usando álgebra abstrata (teoria de aneis). O que se quer mostrar é que qualquer automorfismo de aneis em R ou é trivial ou é injetivo.