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11. Dados \(A, B\subset \mathbb{R}\) não-vazios e limitados, seja \(A+B=\left \{ \ x+y,x\in A,y\in B \}\). Prove
a) \(A+B\) é limitado;
b) \(sup(A+B)=supA+supB\) ;
c) \(inf(A+B)=infA+infB\).

Olá, boa noite,

Vou ajudar com o item b). O item c) é similar e o item a) não deve representar dificuldade à vista dos demais. Então vamos lá.

Sejam \(x \in A\) e \(y \in B\), \(x \leq supA\) e \(y \leq supB\), o que implica que \(x + y \leq supA + supB\).

Dessa forma, \(supA + supB\) é uma cota superior de \(A + B\).

Agora seja \(w\) uma cota superior \(A + B\).

Seja \({y \in B}\). Então \(\forall x \in A\), \({w \geq x + y}\), que significa que \({w-y} \geq {x}\).

Então \({w-y}\) é uma cota superior de \(A\) e portanto \({w-y} \geq {supA}, \any {y} \in {B}\).

Assim \({w-supA} \geq {y}, \forall {y} \in {B}\), ou \({w-supA} \geq {supB}\).

Isso prova que \(w \ge supA + supB\), e mostra que \(supA + supB = sup(A + B)\).

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Fraol
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