Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
19 fev 2015, 10:48
Prezados Colegas,
Eis a questão:
A medida em graus do ângulo interno de um polígono regular e um número inteiro.
Determine o número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade.
Eis a questão:
A medida em graus do ângulo interno de um polígono regular e um número inteiro.
Determine o número de polígonos não semelhantes que possuem essa propriedade.
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
19 fev 2015, 14:54
Bom dia!
A soma dos ângulos internos de um polígono pode ser encontrada em função do seu número de lados 'n'.
\(S_i=180^{\circ}(n-2)\)
Como o polígono possui 'n' lados, e é um polígono regular, cada ângulo interno pode ser obtido pela seguinte relação:
\(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\)
Como a soma entre o ângulo interno e o ângulo externo do polígono vale 180 graus, podemos obter a medida de um ângulo externo da seguinte forma:
\(a_i+a_e=180^{\circ}
\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}+a_e=180^{\circ}
a_e=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}
a_e=\frac{180^{\circ}n-180^{\circ}+360^{\circ}}{n}
a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\)
Bom, como queremos saber quantos polígonos possuem ângulos internos com medida inteira precisamos encontrar todos os valores de 'n' que dividem o número 180 e também o número 'n-2', certo?
Fica mais fácil procurar quantos valores de 'n' dividem somente o número \(360^{\circ}\).
Bom, decompondo o número 360 em fatores primos, temos:
\(360=2^3\times 3^2\times 5\)
Com estes fatores, multiplicando os expoentes acrescidos de 1, temos a seguinte quantidade de divisores para o número 360:
\((3+1)(2+1)(1+1)=4\times 3\times 2=24\)
Destes divisores os únicos que não formam polígonos são o número 1 e o número 2.
Portanto, há 22 polígonos que possuem ângulos externos como ângulos inteiros.
Consequentemente, há também os mesmos 22 polígonos que possuem ângulos internos como números inteiros.
Vou listá-los abaixo (todos os divisores de 360 exceto o 1 e o 2)
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}
Espero ter ajudado!
A soma dos ângulos internos de um polígono pode ser encontrada em função do seu número de lados 'n'.
\(S_i=180^{\circ}(n-2)\)
Como o polígono possui 'n' lados, e é um polígono regular, cada ângulo interno pode ser obtido pela seguinte relação:
\(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\)
Como a soma entre o ângulo interno e o ângulo externo do polígono vale 180 graus, podemos obter a medida de um ângulo externo da seguinte forma:
\(a_i+a_e=180^{\circ}
\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}+a_e=180^{\circ}
a_e=180^{\circ}-\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}
a_e=\frac{180^{\circ}n-180^{\circ}+360^{\circ}}{n}
a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\)
Bom, como queremos saber quantos polígonos possuem ângulos internos com medida inteira precisamos encontrar todos os valores de 'n' que dividem o número 180 e também o número 'n-2', certo?
Fica mais fácil procurar quantos valores de 'n' dividem somente o número \(360^{\circ}\).
Bom, decompondo o número 360 em fatores primos, temos:
\(360=2^3\times 3^2\times 5\)
Com estes fatores, multiplicando os expoentes acrescidos de 1, temos a seguinte quantidade de divisores para o número 360:
\((3+1)(2+1)(1+1)=4\times 3\times 2=24\)
Destes divisores os únicos que não formam polígonos são o número 1 e o número 2.
Portanto, há 22 polígonos que possuem ângulos externos como ângulos inteiros.
Consequentemente, há também os mesmos 22 polígonos que possuem ângulos internos como números inteiros.
Vou listá-los abaixo (todos os divisores de 360 exceto o 1 e o 2)
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}
Espero ter ajudado!
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
24 fev 2015, 16:23
Colega, está um pouco complexo... =/
Tem como explicar de uma forma mais resumida e simples?
Grato.
Tem como explicar de uma forma mais resumida e simples?
Grato.
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
25 fev 2015, 01:09
Maicon, boa noite!
Sei que a explicação ficou um pouco extensa... mas... em que ponto não entendeu? Tudo não pode ser!
Aguardo...
Sei que a explicação ficou um pouco extensa... mas... em que ponto não entendeu? Tudo não pode ser!
Aguardo...
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
25 fev 2015, 01:31
Pois é.. Li e reli, mas parece que faltou a "cereja" do bolo, entende?
Quando passou pra decomposição em fatores primos, ficou tudo escuro, rsrs
Mas agradeço Baltuilhe, de qualquer forma...
Quando passou pra decomposição em fatores primos, ficou tudo escuro, rsrs
Mas agradeço Baltuilhe, de qualquer forma...
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
25 fev 2015, 11:39
Maicon, bom dia!
Para encontrarmos os polígonos regulares que possuem como medida de seus ângulos internos um número inteiro precisamos encontrar uma fórmula para este cálculo, que foi o que fizemos.
Cada ângulo interno pode ser obtido por esta fórmula:
\(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\)
E cada ângulo externo por esta:
\(a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\)
Veja que se fosse buscar os valores de n múltiplos de 180 (para poder dividir e retornar um número inteiro) e também múltiplos de (n-2) ficaria mais difícil do que somente buscar todos os múltiplos de 360. Este foi o motivo pelo qual procurei os valores de n pelas medidas dos ângulos externos, e não pelos ângulos internos.
Para decompor em fatores primos vamos relembrar:
\(\begin{tabular}{c|c}
360 & 2 \\
180 & 2 \\
90 & 2 \\
45 & 3 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
1 & \overline{2^3\cdot 3^2\cdot 5}
\end{tabular}\)
Agora, utilizando os expoentes (3, 2 e 1, respectivamente, expoentes dos fatores primos 2, 3 e 5) podemos chegar na quantidade de divisores do número 360.
Soma-se 1 a cada expoente e multiplicamos todos os valores obtidos:
\((3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24\)
Existe uma forma prática de encontrarmos os 24 divisores de 36, também aproveitando a técnica de fatoração em números primos.
Veja que começamos com um valor 1 no canto superior direito. Este número 1 multiplicará cada fator primo. Então veja que 1x2 = 2.
Depois o 2x2 = 4 (na próxima linha)
Depois 2x4 = 8.
Agora, ao mudar do fator primo de 2 para 3, voltamos para o número 1, e multiplicamos todos os números para encontrar os divisores com o 3.
Então, como tínhamos 1, 2, 4 e 8, estes são os números para multiplicar por 3, gerando a linha 3, 6, 12 e 24.
Agora, para o próximo 3, não precisamos voltar desde o início, mas temos que tomar os 4 últimos valores para encontrar os próximos.
A mesma coisa vai acontecer quando mudarmos do fator primo 3 para o 5. Volta-se ao início, e encontra-se todos os múltiplos desde o 1, 2, 4, 8, 3... até o 72.
\(\begin{tabular}{c|c|l}
& & 1 \\
360 & 2 & 2 \\
180 & 2 & 4\\
90 & 2 & 8\\
45 & 3 & 3 - 6 - 12 - 24\\
15 & 3 & 9 - 18 - 36 - 72\\
5 & 5 & 5 - 10 - 20 - 40 - 15 - 30 - 60 - 120 - 45 - 90 - 180 - 360\\
\end{tabular}\)
Após ter encontrado todos os divisores de 360, temos que analisar quais deles não são polígonos. No caso, somente o 1 e o 2 (não temos polígonos com menos do que 3 lados). Sobram 22 valores, que são os que escrevi na resposta.
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}
Espero ter ajudado um pouco mais
Para encontrarmos os polígonos regulares que possuem como medida de seus ângulos internos um número inteiro precisamos encontrar uma fórmula para este cálculo, que foi o que fizemos.
Cada ângulo interno pode ser obtido por esta fórmula:
\(a_i=\frac{180^{\circ}(n-2)}{n}\)
E cada ângulo externo por esta:
\(a_e=\frac{360^{\circ}}{n}\)
Veja que se fosse buscar os valores de n múltiplos de 180 (para poder dividir e retornar um número inteiro) e também múltiplos de (n-2) ficaria mais difícil do que somente buscar todos os múltiplos de 360. Este foi o motivo pelo qual procurei os valores de n pelas medidas dos ângulos externos, e não pelos ângulos internos.
Para decompor em fatores primos vamos relembrar:
\(\begin{tabular}{c|c}
360 & 2 \\
180 & 2 \\
90 & 2 \\
45 & 3 \\
15 & 3 \\
5 & 5 \\
1 & \overline{2^3\cdot 3^2\cdot 5}
\end{tabular}\)
Agora, utilizando os expoentes (3, 2 e 1, respectivamente, expoentes dos fatores primos 2, 3 e 5) podemos chegar na quantidade de divisores do número 360.
Soma-se 1 a cada expoente e multiplicamos todos os valores obtidos:
\((3+1)(2+1)(1+1)=4\cdot 3\cdot 2=24\)
Existe uma forma prática de encontrarmos os 24 divisores de 36, também aproveitando a técnica de fatoração em números primos.
Veja que começamos com um valor 1 no canto superior direito. Este número 1 multiplicará cada fator primo. Então veja que 1x2 = 2.
Depois o 2x2 = 4 (na próxima linha)
Depois 2x4 = 8.
Agora, ao mudar do fator primo de 2 para 3, voltamos para o número 1, e multiplicamos todos os números para encontrar os divisores com o 3.
Então, como tínhamos 1, 2, 4 e 8, estes são os números para multiplicar por 3, gerando a linha 3, 6, 12 e 24.
Agora, para o próximo 3, não precisamos voltar desde o início, mas temos que tomar os 4 últimos valores para encontrar os próximos.
A mesma coisa vai acontecer quando mudarmos do fator primo 3 para o 5. Volta-se ao início, e encontra-se todos os múltiplos desde o 1, 2, 4, 8, 3... até o 72.
\(\begin{tabular}{c|c|l}
& & 1 \\
360 & 2 & 2 \\
180 & 2 & 4\\
90 & 2 & 8\\
45 & 3 & 3 - 6 - 12 - 24\\
15 & 3 & 9 - 18 - 36 - 72\\
5 & 5 & 5 - 10 - 20 - 40 - 15 - 30 - 60 - 120 - 45 - 90 - 180 - 360\\
\end{tabular}\)
Após ter encontrado todos os divisores de 360, temos que analisar quais deles não são polígonos. No caso, somente o 1 e o 2 (não temos polígonos com menos do que 3 lados). Sobram 22 valores, que são os que escrevi na resposta.
{3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}
Espero ter ajudado um pouco mais
Re: Geometria Plana - Ângulos e Bissetriz
25 fev 2015, 12:58
Bom dia caro Baltuilhe!
Estou analisando minuciosamente e estou começando a entender seu raciocínio.
Tmb estou retomando alguns conceitos, como o Princípio Fundamental da Contagem.
Como a questão não pede os polígonos, mas sim a quantidade de polígonos, vou me ater em ser objetivo e
responder apenas 24-2 = 22 polígonos.
Agradeço muito e espero contar com vc daqui por diante e vice-versa!
Estou analisando minuciosamente e estou começando a entender seu raciocínio.
Tmb estou retomando alguns conceitos, como o Princípio Fundamental da Contagem.
Como a questão não pede os polígonos, mas sim a quantidade de polígonos, vou me ater em ser objetivo e
responder apenas 24-2 = 22 polígonos.
Agradeço muito e espero contar com vc daqui por diante e vice-versa!