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| Análise Real : Completeza de R (Reais) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=8111 |
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| Autor: | jorgeluizsousavidal [ 28 fev 2015, 21:36 ] |
| Título da Pergunta: | Análise Real : Completeza de R (Reais) |
11. Dados \(A, B\subset \mathbb{R}\) não-vazios e limitados, seja \(A+B=\left \{ \ x+y,x\in A,y\in B \}\). Prove a) \(A+B\) é limitado; b) \(sup(A+B)=supA+supB\) ; c) \(inf(A+B)=infA+infB\). |
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| Autor: | Fraol [ 01 mar 2015, 01:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise Real : Completeza de R (Reais) |
Olá, boa noite, Vou ajudar com o item b). O item c) é similar e o item a) não deve representar dificuldade à vista dos demais. Então vamos lá. Sejam \(x \in A\) e \(y \in B\), \(x \leq supA\) e \(y \leq supB\), o que implica que \(x + y \leq supA + supB\). Dessa forma, \(supA + supB\) é uma cota superior de \(A + B\). Agora seja \(w\) uma cota superior \(A + B\). Seja \({y \in B}\). Então \(\forall x \in A\), \({w \geq x + y}\), que significa que \({w-y} \geq {x}\). Então \({w-y}\) é uma cota superior de \(A\) e portanto \({w-y} \geq {supA}, \any {y} \in {B}\). Assim \({w-supA} \geq {y}, \forall {y} \in {B}\), ou \({w-supA} \geq {supB}\). Isso prova que \(w \ge supA + supB\), e mostra que \(supA + supB = sup(A + B)\). |
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