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| Análise Real : Completeza de R (Reais) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=8127 |
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| Autor: | jorgeluizsousavidal [ 02 mar 2015, 20:17 ] |
| Título da Pergunta: | Análise Real : Completeza de R (Reais) |
5. Um número real \(r\) se chama algébrico quando existe um polinômio \(f(x)= {a_{0}}^{}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}\) , não identicamente nulo, com coeficientes inteiros, tal que \(f(r)=0\) . a) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável. b) Dada uma enumeração de\(\left \{ \ f_1,f_{2},...f_{n}, ... \}\) esses polinômios não identicamente nulos, seja, para cada \(n\in \mathbb{N}\) , \(A_{n}\) o conjunto das raízes de \(f_{n}\) . Mostre que o conjunto \(A\) dos números algébricos se escreve como \(A=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}A_{n}\) . Conclua que \(A\) é enumerável. c) Mostre que \(A\) é denso em \(\mathbb{R}\). |
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| Autor: | santhiago [ 02 mar 2015, 23:49 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise Real : Completeza de R (Reais) [resolvida] |
Para cada \(n\) natural fixado , considere \(\Sigma_n\) o conjuntos dos polinômios de coeficientes inteiros com grau máximo \(n\) . Qualquer polinômio \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) em \(\Sigma_n\) é escrito como combinação linear dos (n+1) monomios \(1, x, ... , x^n\) , \(p(x) =\sum_{k=0}^n a_k x^k , \a_i \in \mathbb{Z}\) .Isto nos leva a definir a seguinte bijeção natural : \(\zeta: \mathbb{Z}^{n+1} \to \Sigma_n\) pondo \(\zeta (a_0 , ... , a_n) = p\) , onde \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) é o polinômio definido por \(p(x):= \sum_{k=0}^n a_k x^k\) . Uma vez que \(\mathbb{Z}\) é enumerável o produto cartesiano \(\mathbb{Z}^{n+1}\) também o é .( produto cartesiano de um número finito de enumeráveis é enumerável ) dai resulta \(\Sigma_n\) é enumerável . O item (a) segue-se então do fato que reunião enumerável de enumeráveis é enumerável . (c)DIca :\(\mathbb{Q} \subset A\) e \(\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\) . |
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| Autor: | jorgeluizsousavidal [ 03 mar 2015, 00:34 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise Real : Completeza de R (Reais) |
santhiago Escreveu: Para cada \(n\) natural fixado , considere \(\Sigma_n\) o conjuntos dos polinômios de coeficientes inteiros com grau máximo \(n\) . Qualquer polinômio \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) em \(\Sigma_n\) é escrito como combinação linear dos (n+1) monomios \(1, x, ... , x^n\) , \(p(x) =\sum_{k=0}^n a_k x^k , \a_i \in \mathbb{Z}\) .Isto nos leva a definir a seguinte bijeção natural : \(\zeta: \mathbb{Z}^{n+1} \to \Sigma_n\) pondo \(\zeta (a_0 , ... , a_n) = p\) , onde \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) é o polinômio definido por \(p(x):= \sum_{k=0}^n a_k x^k\) . Uma vez que \(\mathbb{Z}\) é enumerável o produto cartesiano \(\mathbb{Z}^{n+1}\) também o é .( produto cartesiano de um número finito de enumeráveis é enumerável ) dai resulta \(\Sigma_n\) é enumerável . O item (a) segue-se então do fato que reunião enumerável de enumeráveis é enumerável . (c)DIca :\(\mathbb{Q} \subset A\) e \(\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\) . Tudo isso é a prova do item a? ou a e b juntos????? |
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