jorgeluizsousavidal Escreveu:
4. Seja \(f(x)=a_{1}+a_{n}+...+a_{n}x^{n}\) um polinômio com coeficientes inteiros.
c) Use o resultado geral para provar que\(\sqrt[n]{p}\)
é irracional, para todo número primo \(p\) e todo natural \(n\) .
Penso que quereria escrever \(f(x)=a_0+ a_1 x+ \cdots + a_n x^n\), certo?
jorgeluizsousavidal Escreveu:
josesousa Escreveu:
Que resultado???
É por que tem mais dois itens a serem provados vou colocar Aqui...
a) Se um número racional \(\frac{p}{q}\) (com \(p\) e \(q\) primos entre si) é tal que \(f(\frac{p}{q})=0\) , prove que \(p\) divide \(a_{0}\) e \(q\) divide \(a_{n}\) .
b) Conclua que, quando \(a_{n}=1\) , as raízes de \(f\) são inteiras ou irracionais.
Obrigado, aguardo as considerações...
Não sei se pretende as resoluções destas alíneas, mas aqui vai.
a) Repare que \(f(\frac{p}{q})=0\) é equivalente (exercício) às equações \(-a_0 q^n=a_1 q^{n-1}p+\dots +a_n p^n=(a_1 q^{n-1}+\dots +a_n p^{n-1})p\) (donde se tira que p divide \(a_0\) pois é coprimo em relação a q) e \(-a_n p^n=a_0 q^n+\dots +a_{n-1}q p^{n-1}=(a_0 q^{n-1}+\dots +a_{n-1} p^{n-1})q\) (donde se tira que q divide \(a_n\)).
b) Se uma raiz de f não for irracional então será da forma \(\frac{p}{q}\) (com \(p\) e \(q\) primos entre si) em que q divide \(a_n=1\) (pela alínea a)). Ou seja, q=1 (ou q=-1) e portanto a raiz \(\frac{p}{q}=\pm p\) é inteira.
c) \(\sqrt{p}\) é raiz de \(f(x)=x^n-p\) (temos \(a_n=1\) e \(a_0=-p\)). Logo por b) tem-se que \(\sqrt{p}\) é inteira ou irracional. Como não pode ser inteira (caso contrario p não seria primo) só pode ser irracional.
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