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MensagemEnviado: 04 mar 2015, 00:27 
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4. Seja \(f(x)=a_{1}+a_{n}+...+a_{n}x^{n}\) um polinômio com coeficientes inteiros.
c) Use o resultado geral para provar que\(\sqrt[n]{p}\)
é irracional, para todo número primo \(p\) e todo natural \(n\) .


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MensagemEnviado: 04 mar 2015, 12:32 
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Que resultado???

_________________
José Sousa
se gostou da resposta, divulgue o fórumdematemática.org

O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo.
O que há é pouca gente para dar por isso.

óóóó---óóóóóó óóó---óóóóóóó óóóóóóóó
(O vento lá fora.)

Álvaro de Campos, 15-1-1928


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MensagemEnviado: 04 mar 2015, 15:44 
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josesousa Escreveu:
Que resultado???

É por que tem mais dois itens a serem provados vou colocar Aqui...
a) Se um número racional \(\frac{p}{q}\) (com \(p\) e \(q\) primos entre si) é tal que \(f(\frac{p}{q})=0\) , prove que \(p\) divide \(a_{0}\) e \(q\) divide \(a_{n}\) .
b) Conclua que, quando \(a_{n}=1\) , as raízes de \(f\) são inteiras ou irracionais.

Obrigado, aguardo as considerações...


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MensagemEnviado: 05 mar 2015, 17:40 
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jorgeluizsousavidal Escreveu:
4. Seja \(f(x)=a_{1}+a_{n}+...+a_{n}x^{n}\) um polinômio com coeficientes inteiros.
c) Use o resultado geral para provar que\(\sqrt[n]{p}\)
é irracional, para todo número primo \(p\) e todo natural \(n\) .


Penso que quereria escrever \(f(x)=a_0+ a_1 x+ \cdots + a_n x^n\), certo?

jorgeluizsousavidal Escreveu:
josesousa Escreveu:
Que resultado???

É por que tem mais dois itens a serem provados vou colocar Aqui...
a) Se um número racional \(\frac{p}{q}\) (com \(p\) e \(q\) primos entre si) é tal que \(f(\frac{p}{q})=0\) , prove que \(p\) divide \(a_{0}\) e \(q\) divide \(a_{n}\) .
b) Conclua que, quando \(a_{n}=1\) , as raízes de \(f\) são inteiras ou irracionais.

Obrigado, aguardo as considerações...


Não sei se pretende as resoluções destas alíneas, mas aqui vai.

a) Repare que \(f(\frac{p}{q})=0\) é equivalente (exercício) às equações \(-a_0 q^n=a_1 q^{n-1}p+\dots +a_n p^n=(a_1 q^{n-1}+\dots +a_n p^{n-1})p\) (donde se tira que p divide \(a_0\) pois é coprimo em relação a q) e \(-a_n p^n=a_0 q^n+\dots +a_{n-1}q p^{n-1}=(a_0 q^{n-1}+\dots +a_{n-1} p^{n-1})q\) (donde se tira que q divide \(a_n\)).

b) Se uma raiz de f não for irracional então será da forma \(\frac{p}{q}\) (com \(p\) e \(q\) primos entre si) em que q divide \(a_n=1\) (pela alínea a)). Ou seja, q=1 (ou q=-1) e portanto a raiz \(\frac{p}{q}=\pm p\) é inteira.

c) \(\sqrt{p}\) é raiz de \(f(x)=x^n-p\) (temos \(a_n=1\) e \(a_0=-p\)). Logo por b) tem-se que \(\sqrt{p}\) é inteira ou irracional. Como não pode ser inteira (caso contrario p não seria primo) só pode ser irracional.


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