Análise Real : Completeza de R (Reais)

[jorgeluizsousavidal]

5. Um número real \(r\) se chama algébrico quando
existe um polinômio \(f(x)= {a_{0}}^{}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n}\)
, não identicamente nulo, com coeficientes inteiros, tal que \(f(r)=0\) .
a) Prove que o conjunto dos polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
b) Dada uma enumeração de\(\left \{ \ f_1,f_{2},...f_{n}, ... \}\) esses polinômios não identicamente nulos, seja, para cada \(n\in \mathbb{N}\) , \(A_{n}\) o conjunto das raízes de \(f_{n}\) . Mostre que o conjunto \(A\) dos números algébricos se escreve como \(A=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}A_{n}\) . Conclua que \(A\) é enumerável.
c) Mostre que \(A\) é denso em \(\mathbb{R}\).

[santhiago]

Para cada \(n\) natural fixado , considere \(\Sigma_n\) o conjuntos dos polinômios de coeficientes inteiros com grau máximo \(n\) . Qualquer polinômio \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) em \(\Sigma_n\) é escrito como combinação linear dos (n+1) monomios \(1, x, ... , x^n\) , \(p(x) =\sum_{k=0}^n a_k x^k , \a_i \in \mathbb{Z}\) .Isto nos leva a definir a seguinte bijeção natural : \(\zeta: \mathbb{Z}^{n+1} \to \Sigma_n\) pondo \(\zeta (a_0 , ... , a_n) = p\) , onde \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) é o polinômio definido por \(p(x):= \sum_{k=0}^n a_k x^k\) . Uma vez que \(\mathbb{Z}\) é enumerável o produto cartesiano \(\mathbb{Z}^{n+1}\) também o é .( produto cartesiano de um número finito de enumeráveis é enumerável ) dai resulta \(\Sigma_n\) é enumerável .

O item (a) segue-se então do fato que reunião enumerável de enumeráveis é enumerável .

(c)DIca :\(\mathbb{Q} \subset A\) e \(\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\) .

[jorgeluizsousavidal]

Para cada \(n\) natural fixado , considere \(\Sigma_n\) o conjuntos dos polinômios de coeficientes inteiros com grau máximo \(n\) . Qualquer polinômio \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) em \(\Sigma_n\) é escrito como combinação linear dos (n+1) monomios \(1, x, ... , x^n\) , \(p(x) =\sum_{k=0}^n a_k x^k , \a_i \in \mathbb{Z}\) .Isto nos leva a definir a seguinte bijeção natural : \(\zeta: \mathbb{Z}^{n+1} \to \Sigma_n\) pondo \(\zeta (a_0 , ... , a_n) = p\) , onde \(p \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) é o polinômio definido por \(p(x):= \sum_{k=0}^n a_k x^k\) . Uma vez que \(\mathbb{Z}\) é enumerável o produto cartesiano \(\mathbb{Z}^{n+1}\) também o é .( produto cartesiano de um número finito de enumeráveis é enumerável ) dai resulta \(\Sigma_n\) é enumerável .

O item (a) segue-se então do fato que reunião enumerável de enumeráveis é enumerável .

(c)DIca :\(\mathbb{Q} \subset A\) e \(\mathbb{Q}\) é denso em \(\mathbb{R}\) .

Tudo isso é a prova do item a? ou a e b juntos?????