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| Análise Real : Sequências Núméricas (limites) https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=8166 |
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| Autor: | jorgeluizsousavidal [ 08 mar 2015, 15:19 ] |
| Título da Pergunta: | Análise Real : Sequências Núméricas (limites) |
8. Dados\(a, b \in \mathbb{R}^+\) , defina indutivamente as sequências \(\left ( x_{n} \right )\) e \(\left ( y_{n} \right )\) pondo \(x_{1}=\sqrt{ab}\) , \(y_{1}=\frac{a+b}{2}\) , \(x_{n+1}=\sqrt{x_{n}y_{n}}\), e \(y_{n+1}=\frac{x_{n}+y_{n}}{2}\). Prove que \(x_{n}\) e \(y_{n}\) convergem para o mesmo limite. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 16 mar 2015, 20:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise Real : Sequências Núméricas (limites) |
Vou só indicar os passos a seguir. 1) Comece por provar para quaisquer reais positivos \(a,b\in\mathbb{R}^+\) se tem as desigualdades \(\min\{a,b\}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \max\{a,b\}\) (veja a desigualdade das médias). 2) Conclua que \((x_n)\) é uma sucessão crescente majorada por \(\max\{a,b\}\) e que \((y_n)\) é uma sucessão decrescente minorada por \(\min\{a,b\}\). 3) Conclua que as duas sucessões são convergentes e mostre que têm limites iguais (dica: \(\lim y_n=\lim y_{n+1}=\frac{\lim x_n +\lim y_n}{2}\)). |
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| Autor: | jorgeluizsousavidal [ 19 mar 2015, 21:11 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Análise Real : Sequências Núméricas (limites) |
Rui Carpentier Escreveu: Vou só indicar os passos a seguir. 1) Comece por provar para quaisquer reais positivos \(a,b\in\mathbb{R}^+\) se tem as desigualdades \(\min\{a,b\}\le \sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\le \max\{a,b\}\) (veja a desigualdade das médias). 2) Conclua que \((x_n)\) é uma sucessão crescente majorada por \(\max\{a,b\}\) e que \((y_n)\) é uma sucessão decrescente minorada por \(\min\{a,b\}\). 3) Conclua que as duas sucessões são convergentes e mostre que têm limites iguais (dica: \(\lim y_n=\lim y_{n+1}=\frac{\lim x_n +\lim y_n}{2}\)). Cara preciso ver que é a sequencia (Xn) e quem é a sequência (Yn). Preciso dos três primeiros termos....tem com mim mostrar ? |
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