Bom dia!
Após fazer algumas considerações acredito que o cálculo abaixo pode ser utilizado para obter o valor do comprimento total do cabo enrolado.
Diâmetro do Tambor sem cabo enrolado = 300mm
Diâmetro do Tambor com cabo enrolado = 1300mm
Raio do Tambor sem cabo enrolado = 150mm
Raio do Tambor com cabo enrolado = 650mm
Extremos do Tambor = 800mm
Diâmetro do cabo de aço = 50mm
Dividindo a distância entre os extremos do tambor pelo diâmetro do cabo:
\(\frac{800}{50}=16\)
Esta é a quantidade de 'cabos paralelos' que cabem entre os extremos deste tambor.
Então, a cada 16 voltas (enrolando) o cabo de aço completa uma camada do tambor e a partir da 17ª volta passa a ter cabo sobre cabo gerando uma nova camada.
Agora, de 150 a 650 (raio do tambor sem cabo e com todas as voltas do cabo enrolado) teremos 650-150=500mm para serem 'preenchidos' com o cabo de 50mm de diâmetro.
\(\frac{500}{50}=10\)
Esta é a quantidade de 'camadas' de 16 cabos paralelos que teremos, preenchendo os requisitos do problema.
Agora vamos calcular o 'raio' de cada uma das camadas.
A primeira camada com o tambor vazio vale 150mm. Mas o nosso cabo tem 50mm de diâmetro (ou 25mm de raio). Portanto:
\(r_1=150+25=175\text{ mm}\)
Veja que cada camada preenchida (com 16 voltas), ao passar para a próxima teremos que acrescentar mais 50mm no raio, que é o valor do diâmetro do cabo.
Então, como temos 10 camadas (uma P.A.)
\(r_{10}=175+(10-1)\cdot 50=175+9\cdot 50=175+450=625\text{ mm}\) (veja que bate com os 650 mm menos os 25 mm de raio do cabo de aço)
Agora, é só 'somar' o comprimento de cada uma das 10 camadas (uma soma de P.A)
Primeira camada (1 volta de cabo) = \(2\pi\cdot 175=350\pi\)
Última camada (1 volta de cabo) = \(2\pi\cdot 625=1250\pi\)
Como temos 16 voltas em cada camada:
Primeira camada completa=\(16\cdot 350\pi=5600\pi\)
Última camada completa=\(16\cdot 1250\pi=20000\pi\)
Somando (fórmula de somatório de P.A)
\(S_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\)
\(S_{10}=\frac{(5600\pi+20000\pi)\cdot 10}{2}
S_{10}=25600\pi\cdot 5
S_{10}=128000\pi\text{ mm}\approx 402123,86\text{ mm}=402,12\text{ m}\)
Espero ter ajudado (e acertado)!
