Por que a raiz é sempre positiva?
25 jul 2015, 14:52
A pergunta pode ser meio besta, mas nunca entendi de fato porque isso acontece. Por exemplo, na seguinte situação:
\(x = \sqrt{25}\)
Se eu resolver tirando a raiz, como ela é sempre positiva (\(\sqrt{25} = 5\)). Então:
\(x = \sqrt{25} = 5\)
Porém, se eu elevar os dois termos ao quadrado, o resultado muda:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x^2 = (\sqrt{25})^2\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm 5\)
Em um dos casos x = 5 e no outro x=+5 ou x=-5, partindo da mesma equação.
Tenho quase certeza que estou usando alguma lógica errada em alguma parte, porém não consigo identificar exatamente onde.
Alguém pode me ajudar com isso? Agradeço desde já
\(x = \sqrt{25}\)
Se eu resolver tirando a raiz, como ela é sempre positiva (\(\sqrt{25} = 5\)). Então:
\(x = \sqrt{25} = 5\)
Porém, se eu elevar os dois termos ao quadrado, o resultado muda:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x^2 = (\sqrt{25})^2\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm 5\)
Em um dos casos x = 5 e no outro x=+5 ou x=-5, partindo da mesma equação.
Tenho quase certeza que estou usando alguma lógica errada em alguma parte, porém não consigo identificar exatamente onde.
Alguém pode me ajudar com isso? Agradeço desde já
Re: Por que a raiz é sempre positiva?
25 jul 2015, 19:42
Seja bem-vindo!!
Se tiveres \(x^2 = 25\), então \(x = \pm 5\). Note que há uma variável envolvida...
Mas, se fosse apenas: Calcule \(\sqrt{49}\). Não faria sentido dizer \(\pm 7\).
Lembre-se também da definição de módulo: \(|x| = \begin{cases} x \ \ \text{se} \ \ x \geq 0 \\ - x \ \ \text{se} \ \ x < 0 \end{cases}\).
Se tiveres \(x^2 = 25\), então \(x = \pm 5\). Note que há uma variável envolvida...
Mas, se fosse apenas: Calcule \(\sqrt{49}\). Não faria sentido dizer \(\pm 7\).
Lembre-se também da definição de módulo: \(|x| = \begin{cases} x \ \ \text{se} \ \ x \geq 0 \\ - x \ \ \text{se} \ \ x < 0 \end{cases}\).
Re: Por que a raiz é sempre positiva?
25 jul 2015, 22:42
Obrigado danjr5!
Ainda acho um pouco confuso sobre isso, pois partindo da mesma equação (\(x = \sqrt{25}\)) cheguei em dois resultados diferentes, usando formas de resolução diferentes:
1 - Como \(\sqrt{25} = 5\), só tirar a raiz da equação faz com que x = 5:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x = 5\)
2 - Se eu elevar os dois lados ao quadrado, chego na resposta de que x= 5 ou x = -5:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x ^2= (\sqrt{25}) ^2\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm 5\)
Como disse tenho quase certeza que estou confundindo alguma propriedade ou fazendo alguma coisa que não faz sentido. Mas não consigo identificar onde isso está ocorrendo.
Ainda acho um pouco confuso sobre isso, pois partindo da mesma equação (\(x = \sqrt{25}\)) cheguei em dois resultados diferentes, usando formas de resolução diferentes:
1 - Como \(\sqrt{25} = 5\), só tirar a raiz da equação faz com que x = 5:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x = 5\)
2 - Se eu elevar os dois lados ao quadrado, chego na resposta de que x= 5 ou x = -5:
\(x = \sqrt{25}\)
\(x ^2= (\sqrt{25}) ^2\)
\(x^2 = 25\)
\(x = \pm 5\)
Como disse tenho quase certeza que estou confundindo alguma propriedade ou fazendo alguma coisa que não faz sentido. Mas não consigo identificar onde isso está ocorrendo.
Re: Por que a raiz é sempre positiva?
25 jul 2015, 22:53
Agora que percebi que me expressei muito mal com a pergunta do título desse tópico. Talvez a pergunta mais adequada seria:
"Qual o motivo para a definição de raiz aceitar como resultado apenas valores positivos?"
A equação foi um exemplo, bem simplificado, do porque isso me confunde: a mesma equação apresentou dois conjunto solução diferente dependendo do método que usei para resolução. Por um método o conjunto solução é \(S =\left \{ 5 \right \}\) e por outro \(S =\left \{ -5 ; 5 \right \}\)
Como diss5, acredito que estou fazendo alguma coisa errada em algum passo, mas ainda não consegui identificar o motivo.
Aliás, peço desculpas por enviar duas mensagens seguidas. Achei importante esclarecer a falha da minha expressão na pergunta, e não consegui achar um botão para editar a mensagem anterior.
"Qual o motivo para a definição de raiz aceitar como resultado apenas valores positivos?"
A equação foi um exemplo, bem simplificado, do porque isso me confunde: a mesma equação apresentou dois conjunto solução diferente dependendo do método que usei para resolução. Por um método o conjunto solução é \(S =\left \{ 5 \right \}\) e por outro \(S =\left \{ -5 ; 5 \right \}\)
Como diss5, acredito que estou fazendo alguma coisa errada em algum passo, mas ainda não consegui identificar o motivo.
Aliás, peço desculpas por enviar duas mensagens seguidas. Achei importante esclarecer a falha da minha expressão na pergunta, e não consegui achar um botão para editar a mensagem anterior.