Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

39 - A diferença de dois números é 24 e o seu mmc é igual a 12 vezes seu mdc. Calcule esses números.

Desde já agradeço a quem conseguir resolver.

Dados dois números N e M temos que NM=mmc(N,M)mdc(N,M). Tendo isto em conta, o problema consiste em encontrar uma solução inteira da equação:
\(x(x+24)=12y^2\) (onde x e x+24 são os números que diferem entre si de 24 e y é o mdc destes).
Resolvendo em ordem a x temos que, após algumas simplificações, \(x=-12+2\sqrt{36+3y^2}\). Ou seja, tem de existir dois inteiros y,z tais que \(z^2=36+3y^2 \Leftrightarrow z^2-3y^2=36\). É fácil ver que, para que y e z sejam soluções inteiras, terão que ser múltiplos de 6 (exercício), logo o problema fica reduzido a uma equação de Pell: \(Z^2-3Y^2=1\) (onde \(z=6Z\) e \(y=6Y\)). Esta equação tem, por um teorema de Lagrange, um número infinito de soluções, sendo a mais pequena: Z=2 e Y=1. No entanto, temos de determinar aquela(s) em que \(y=6Y\) é o mdc de \(x=-12+2z=-12+12Z\), e \(x+24=12+12Z\) o que não parece tarefa fácil.

Na verdade, esqueci-me de um pormenor que simplifica bastante a resolução (não é preciso ir para as equações de Pell). Como y é mdc de x e x+24 então y divide x e x+24, e portanto também divide divide 24=(x+24)-x. Logo, y= 1, 2, 3, 4, 6, 12 ou 24. Agora é só ver para quais destes valores de y se tem solução inteira \(x=-12+2\sqrt{36+3y^2}\) e \(y=mdc(x,x+24)\). No seguimento da mensagem anterior, basta considerar os casos em que y é múltiplo de 6, ou seja, y=6, 12 ou 24 (exercício).