Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Ex. 1.1 — Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:
a) Existe um número real n tal que n2 = 2.
b) Não existe número racional x tal que x2 = 2.
f) Para cada número real x existe um número real y tal que x + y = 0.
g) Todo elemento do conjunto A é elemento do conjunto B.
h) Para todo ∈, existe δ(∈) tal que se 0 < |x−a| < δ então |f(x)−f(l))| < ε.

1.2) Seja A = {1, 2, 3, 4}. Determine o valor verdade para cada uma das seguintes proposições:
a) ∃x∈A|x+4=9.
b) ∃x∈A|x<7.
c) ∀x∈A,x+3<7.
d) ∀x∈A,x+3<9.

Exercícios
Ex. 1.14 — Transcreva as seguintes proposições para a forma simbólica:
a) Para todo número inteiro ímpar n, existe um número inteiro k tal que n = 2k + 1.
b) Para todo y∈ B existe um x∈A tal que f(x)=y.
c) Para todo número real x existe y tal que x+y = 0.
d) Para todo ∈ >0, existeN 0 ∈N tal que para todo n>N 0,|an−L| ∈.
e) Para todo x∈A e para todo número real∈ >0 0 existe um número realδ > tal
que |x−c| < δ implica |f(x)−L| < ∈.
Ex. 1.15 — Seja a proposição p(x,y) =“x+4 > y” com x,y ∈ D = {1,2,3,4,5,6}. Para as
seguintes proposições, reescreva-as em português e atribua um valor verdade
a) ∀x ∈ D,∃y ∈ D|p(x,y)
b) ∃y ∈ D|∀x ∈ D,p(x,y)
c) ∀x ∈ D,∀y ∈ D,p(x,y)
d) ∃x ∈ D,∃y ∈ D|p(x,y)
Ex. 1.16 — O que as seguintes afirmações significam? Elas são universais ou particula- res? Elas são verdadeiras? Dê exemplos e contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.
a) ∀x,∃y|(x < y)
b) ∃y|∀x,(x < y)
c) ∃x|∀y,(x < y)
d) ∀y,∃x|(x < y)
e) ∃x|∃y|(x < y)
f) ∀x,∀y,(x<y)


Ex. 1.17 — Reescreva as seguintes definições matemáticas simbolicamente:
a) Comutatividade: A soma de x com y é igual a soma de y com x.
b) Não-comutatividade: Existem x e y tal que a soma de x com y é diferente da soma de y com x.
c) Identidade: Existe um elemento e tal que a soma de x com e é x.
d) Transitividade: Se x é menor igual que y e y é menor igual que z então x é menor
igual que z.
e) Reflexividade: Para todo x, x é menor igual a x

Ex. 1.18 — O que as seguintes afirmações significam? Elas são verdadeiras? Dê exem- plos e contraexemplos quando possível. O universo de discurso em todos os casos é os números naturais.
a) ∀x,∃y|(2x−y = 0)
b) ∃y|∀x,(2x−y = 0)
c) ∃y|∃z|(y+z = 100)

Ex. 1.19 — Para as seguintes proposições, escreva a negação, em português e simbólica,
de cada uma delas.
a) Para todo número real x, para todo número real y, x + y = 0.
b) Para todo número real x, existe um número real y tal que x + y = 0.
c) Paratodoǫ>0,existeN0 ∈Ntalqueparatodon>N0,|an−L| ǫ
d) Para todo ǫ, existe δ(ǫ) tal que se 0 < |x−a| < δ então |f(x)−f(l))| < ε.
Ex. 1.20 — Exemplos e ou Contraexemplos
a) Para todos números naturais pares m, n, temos que n + m é par.


Ex. 1.21 — Demonstre as seguintes afirmações:
a) Se a divide b e a divide c então a divide b+c.
b) Se p, q são números racionais, então p + q é um número racional.
c) Se p, q são números racionais, então p · q é um número racional.
d) Se r 1 e r 2 são raízes distintas de p(x)=x2+bx+c,então r1+r2 =−b e r1r2 =c.


Ex. 1.22 — Use o método de redução ao absurdo para provar cada um das seguintes proposições.
a) √3 2 é irracional.
b) Não existem soluções inteiras positivas para a equação x2 − y2 = 10.
c) Não existem soluções racionais para a equação x5 + x4 + x3 + x2 + 1 = 0.
d) Dados a, b, c números inteiros. Mostre que se a não divide bc, então a não divide
b.


Ex. 1.23 — Prove cada uma das seguintes proposições pelo método de contraposição.
a) Se x e y são dois números inteiros cujo produto é par, então pelo menos um dos
dois deve ser par.
b) Se x e y são dois números inteiros cujo produto é ímpar, então ambos têm de ser ímpares.
c) Se a e b são números reais tais que o produto ab é um número irracional, então ou a ou b deve ser um número irracional

Ex. 1.24 — Mostre que o produto de um número racional não nulo com um número irracional é um número irracional.

Ex.1.25— Mostre que se a e b são números racionais,então a+b é um número racional.

Ex. 1.26 — Mostre que um número inteiro de 4 dígitos é divisível por 3 se a soma dos
seus dígitos for divisível por 3.


Ex. 1.27 — Dado dois inteiros a e b, o produto ab é um número par, se e somente se, pelo menos um dos números inteiros, a ou b, for par

Está a brincar, certo? Mas acha que alguém lhe vai resolver uma extensa lista de exercícios?? Se quer realmente compreender as respostas, faça posts relativos aos que já tentou fazer e onde tem dúvidas concretas...

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