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numa circunferencia sao colocados n pontos,em um ponto é colocado o numero 0,nos outros o numero 1.a operacao permitida é pegar um dos pontos com 1 emudar seu valor e tambem dos dois pontos imediatamentes a direita e esquerda (de 1 vai para 0 e viceversa).mostrar que nao é possivel deixar todos os pontos iguais a 0 quando n multiplo de 3.

Geralmente a maneira de resolver exercícios deste tipo é encontrar uma propridade que seja preservada para operações dadas, que seja verificada no ínicio mas não no estado onde queremos acabar (o que prova a impossibilidade de chegar até lá).

Vamos enumeramos os pontos por ordem circular de 1 até n=3k , sendo 1 o ponto que onde foi colocado o número 0. Em seguida, dividimos os pontos em classes residuais módulo 3, \(C_1=\{1,4,\dots ,3k-2\}\), \(C_2=\{2,5,\dots ,3k-1\}\) e \(C_3=\{3,6,\dots ,3k\}\). Temos que no início a paridade dos pontos em \(C_1\cup C_2\) com valor 0 é ímpar (só há o ponto 1 nessa situação). Esta paridade mantem-se invariante por cada operação permitida (há dois e só dois pontos que mudam de valor). No entanto no estado pertendido a paridade é par pois todos os 2k pontos de \(C_1\cup C_2\) têm valor 0. Logo é impossível aceder a esse estado.