Fórum de Matemática
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Considere o número M= 3 x k^2,onde k é um número primo.Se a soma de todos os divisores naturais de M é 732,é correto afirmar que a soma dos algarismos de k é:

Tomemos como exemplo um número qualquer: 12

\(\\ {12} = {2^2} \cdot 3\)

Encontramos a quantidade de divisores fazendo...

\(\\ (2 + 1)(1 + 1) = 6\)

Isto é, D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

Note que, \(D(12) = \left \{ 1, 2 \cdot 1, 2 \cdot 2, 2 \cdot 3, 3, 3 \cdot 2^2 \right \} \Rightarrow D(12) = \left \{ 1, 2, 4, 6, 3, 12 \right \}\)



Encontremos o número de divisores:

\(\\ (1 + 1)(2 + 1) = \\\\ 2 \cdot 3 = \\\\ \fbox{6}\)

Já sabemos que "M" possui 6 divisores, são eles: \(D(M) = \left \{ 1, 3, 3 \cdot k, 3 \cdot k^2, k, k^2 \right \} \Rightarrow D(M) = \left \{ 1, 3, 3k, 3k^2, k, k^2 \right \}\)


Segue que,

\(\\ {1} + {3} + {3k} + {3k^2} + {k} + {k^2} = {732} \\\\ {4k^2} + {4k} - {728} = 0 \; \div(4 \\\\ k^2 + k - {182} = 0 \\\\ (k + 14)(k - 13) = 0 \\\\ \fbox{k = 13}\)


Logo,

1 + 3 =
13

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Daniel Ferreira
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