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Algum gênio consegue resolver isso?

A raiz quadrada de um número P é igual a x e o resto é o maior possível.A raiz cúbica de um número S é igual a x e o resto também é o maior possível.Se a soma desses restos é 288,qual é a soma dos dígitos do número S?
Resposta: 27

Esse exercício foi retirado do livro Praticando Aritmética do capítulo de Radiciação.
Para facilitar o entendimento,de primeira mão irei informar a vocês alguns dados a parte.
Teorema 1: ''O maior res to que se pode encontrar na extração da raiz quadrada de um número natural N é igual ao dobro da raiz.''
Ex.:Tome A=8 ,o maior quadrado perfeito em 8=>4=2²
Logo o maior resto=3²-1-2²=2.2

Teorema 2:''O maior resto que se pode encontrar no extração da raiz cúbica de um número N é igual ao triplo do quadrado da raiz mais o triplo da raiz.''
ex.:Tome S=26=3³-1 ,o maior cubo perfeito em 26=>8=2³
Logo o maior resto=3³-1-2³=3.2²+3.2

Tentei utilizar esses dados na questão mais resultou em uma equação muito complexa. Resposta da questão:27

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''Viva a matemática,assim a razão da vida será lógica''

Olá Breno,
boa noite!

\(2x + (3x^2 + 3x) = 288\)

\(3x^2 + 5x - {288} = 0\)

\(\Delta = 25 + 3456\)

\(\Delta = 3481\)

\(x = \frac{- 5 \pm \sqrt{3481}}{6} \Rightarrow x = \frac{- 5 \pm 59}{6} \\\\ \begin{cases} x' = \frac{- 5 + 59}{6} \Rightarrow x' = \frac{54}{6} \Rightarrow \fbox{\fbox{x' = 9}} \\\\ x'' = \frac{- 5 - 59}{6} \Rightarrow x'' = \frac{- 64}{6} \Rightarrow \fbox{x'' = \frac{-32}{3}}\end{cases}\)

Note que, "x" não pode ser negativo...

Segue que,

\(\\ \sqrt[3]{s} = x \\\\ s = x^3 \\\\ s = 9^3 \\\\ s = 729\)

Lembremos que, ao valor encontrado devemos somar seu resto, logo:

\(\\ S = 729 + (3x^2 + 3x) \\\\ S = 729 + (3 \cdot 81 + 3 \cdot 9) \\\\ S = 729 + 270 \\\\ S = 999\)

Por fim,

\(\\ \text{Soma} = 9 + 9 + 9 \\\\ \fbox{\fbox{\fbox{\text{Soma} = 27}}}\)

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

A resposta está correta,no entanto eu não consigo entender o porque de você dizer que a incógnita ''X'' será a mesma para os dois maiores restos,eu fiz esse mesmo pensamento que você,entretanto chamei uma incógnita de ''x'' e outra de ''y'',motivo de insucesso.Vou postar minha resolução:

S=x³-1(para existir o maior resto) | Maior cubo perfeito em x³-1=>y³ |Maior resto: x³-1-y³=3y²+3y .:x=y+1
∛x³-1=p.: x³-1=p³ .:x³=p³+1

P=A²-1(para existir o maior resto) | Maior quadrado perfeito em A²-1=>B² | Maior resto: A²-1-B²=2B .:A=B+1
√A²-1=p.: A²-1=p² .:A²=p²+1

Soma dos restos é igual a 288 => (x³-1-y³ ou 3y²+3y)+(A²-1-B² ou 2B)=288

Obs:Note que eu criei 4 incógnitas:A,B,x,y;o que fez com que eu não encontrasse nada.O curioso de chamar ''X'' e ''Y'' de apenas uma incógnita é o fato de que números diferentes deixam restos diferentes,malgrado espero sua resposta,toda via agradeço pela sua ajuda.

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''Viva a matemática,assim a razão da vida será lógica''

Breno, repare no enunciado! Ele garante que "x" é a raiz quadrada e raiz cúbica de P e S, respectivamente. Portanto, não há necessidade de outras incógnitas!!

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Olá Breno,
bom dia!
Dúvida sanada??

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Daniel Ferreira
_{se gosta da resposta,
RESPONDA A QUEM PRECISA}

Chequei a uma conclusão sobre essa questão,ela foi mal elaborada,Observe:Quando ele cita raiz de um número ele não se refere a própria raiz mais sim a maior raiz contida nele.Podemos perceber isso pois você disse que o maior resto da raiz quadrada de um número P =2x,para que isso aconteça teremos que X² é o maior quadrado perfeito em P,e não que P seja igual a x².O mesmo funciona para S,pois de acordo com a sua resolução temos que o maior resto de S=3x²+3x e para que isso aconteça teremos que X³ é o maior cubo em S,e não que S seja igual a X³ .Contudo,podemos perceber que esse questão foi mal elaborada,pois se seguíssemos a risca seu enunciado não encontraríamos a resposta.

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''Viva a matemática,assim a razão da vida será lógica''