Considere a expressão integral P = x³ + x² +ax +1

[GuilhermeSabino]

Estou estudando para um vestibular bem difícil e gostaria que me ajudassem a resolve essa questão, queria saber de modo mais detalhado possível como responder a isso.
A questão esta em inglês então eu tomei a liberdade de traduzi-la, mas postarei a questão original para darem uma olhada.

Considere a expressão "integral" em x:
P = x³ + x² +ax +1
Onde a é um numero racional.

Em a = (?1) o valor de p é um numero racional de qualquer x que satisfaça a equação
x² + 2x - 2 = 0, e nesse caso o valor de P é (?2)

PS: onde eu coloquei o ponto de interrogação é o que a questão esta pedindo, o valor de a e de p.

Anexos

[jorgeluis]

Número Racional Q: qualquer número que possa ser escrito sob forma de fração: Q = {x | x = \(\frac{a}{b}\), com \(a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z} e b \neq 0\)}

Na expressão :

P = x³ + x² + ax + 1,

a é um n^o racional se, e somente se, \(x\neq 0\)

\(a = \frac{P - x^3 - x^2 - 1}{x}\)

e, P com x satisfazendo a equação x² + 2x - 2 = 0, é um n^o racional se, e somente se, \(a\neq (-1\pm \sqrt{3})^{-1}\)

raízes da equação x² + 2x - 2 = 0

\(-1\pm \sqrt{3}\)

\(P = (-1\pm \sqrt{3})^3 + (-1\pm \sqrt{3})^2 + a(-1\pm \sqrt{3}) + 1\)

no desenvolvimento de P com x=\(-1 + \sqrt{3}\)
temos:
\(P = 8\sqrt{3}+(-1+\sqrt{3})a+15\)