A soma de cinco números interior em P.A vale 25 e seu produto -880.

[Xico]

A soma de cinco números inteiros em P.A. vale 25 e o seu produto, -880. Determine esses números.

[Fraol]

Olá,

A PA seria formada pelos seguintes elementos: \(a_1, a_1 + r, a_1 + 2r, a_1 + 3r, a_1 + 4r\).

Como a soma dá 25, então \(a_1 + 2r = 5\) (por favor, faça as contas para confirmar).

Aí poderíamos fazer o produto de forma semelhante e ...

Mas vamos olhar de outra forma:

Se fatorarmos \(-880\) obtemos, ajeitando convenientemente: \(-880 = -1 \times 2 \times 5 \times 8 \times 11\) .
Veja que coisa interessante, os fatores acima formam ...

[jorgeluis]

eis os 5 termos em P.A.:

\((x-2r),(x-r),x,(x+r),(x+2r)\)

SOMA:
\((x-2r)+(x-r)+x+(x+r)+(x+2r)=25\)
\(5x=25\)
\(x=5\)

PRODUTO:
\((x-2r).(x-r).x.(x+r).(x+2r)=-880\)
\((5-2r).(5-r).5.(5+r).(5+2r)=-880\)
\((5^2-r^2).[5^2-(2r)^2]=-176\)
\((625-100r^2)-(25r^2-4r^4)=-176\)
\(4r^4-125r^2+801=\)
fazendo:
\(r^2=y\)
temos:
\(4y^2-125y+801=\)

\(\Delta=15625-12816
\Delta=2809\)

\(y_1=\frac{125+53}{8}
y_1=22,25\)

\(y_2=\frac{125-53}{8}
y_2=9\)
se,
\(r^2=y
r=\pm3\)
logo,
\((x-2r),(x-r),x,(x+r),(x+2r)
-1, 2, 5, 8, 11\)