Progressão aritmética com raiz quadrada

[Ansellmo]

2016-05-25 11.25.58.jpg (31.07 KiB) Visualizado 1977 vezes

[Sobolev]

Se não estou a ver mal, não existe nenhum número x nas condições referidas. O limite da sucessão definida recursivamente do modo indicado deve ser ponto fixo da função \(g(x)=\sqrt{x \sqrt{x}}\) (ver teo. do ponto fixo de Banach). ora os únicos pontos fixos desta função são 0 e 1, pelo que em nenhum caso o limite poderia ser 4.

Estou naturalmente a supor que os (...) na definição de x significam que o processo de extração de raizes quadradas continua indefinidamente.

[Rui Carpentier]

(...) O limite da sucessão definida recursivamente do modo indicado deve ser ponto fixo da função \(g(x)=\sqrt{x \sqrt{x}}\) (ver teo. do ponto fixo de Banach). (...)

Sobolev, não creio que seja essa a função (experimenta calcular \(g(g(x))\) por exemplo). Acho que a função correta é \(g(t)=\sqrt{xt}\) (onde \(x>0\) é uma constante). Os pontos fixos desta função são o \(t=0\), que é instável, e o \(t=x\) que é estável (se não me enganei nas contas). Logo, temos de ter \(x=4\). Outra forma de ver, mas deixando de lado a questão da convergência e sentido da expressão \(\sqrt{x\sqrt{\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}}\), seria a seguinte:
\(\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}}=4 \Leftrightarrow x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{\cdots}}}}}=16 \Leftrightarrow x\times 4=16\Leftrightarrow x=4\)

[Sobolev]

Obrigado Rui, realmente a função que apontei não gera a sequência correcta, o que invalida o resto do argumento.