Lógica da racionalização com raiz quadrada?

[sesshou]

Lógica da racionalização com raiz quadrada
Por que o conjugado tem sinais invertidos ?

V = sinal de raiz quadrada
Exempo: 23/4+V5 ===== RESOLUÇÃO FICA: " 23/4+V5 * 4-V5/3-V5 "

Por que não pode por o conjugado com o sinal de +?, eu tentei descobrir, aplicando em uma fração simples e realmente não entendi a lógica disso.
por exemplo:

supondo uma expressão como: 1/1+V100 resolução: 1/1+V100 = 1/1+10 = 1/11 = 0,0909090909
Se aplicasse a regra a resposta seria diferente, veja: 1/1+V100 * 1-V100/1-V100 = 1/10-100 = 1/90 = 0.0111111111
Então, por curiosidade tentei sem inverter os sinais do conjugado, ficou: 1/1+V100 *1+V100/1+100 = 1/10+100 = 1/110 = 0,0090909091

[b]Conclusão: Não entendi lógica da regra da racionalização de frações, pois testei e deu resultados diferentes[/b]

[jorgeluis]

sesshou,
\(\frac{23}{4+\sqrt{5}}.\frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}=\frac{92-23\sqrt{5}}{11}\)

racionalizar significa retirar a raiz do denominador, ou seja, você pode usar qualquer procedimento, desde que consiga remover a raiz do denominador.

[sesshou]

sesshou,
\(\frac{23}{4+\sqrt{5}}.\frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}}=\frac{92-23\sqrt{5}}{11}\)

racionalizar significa retirar a raiz do denominador, ou seja, você pode usar qualquer procedimento, desde que consiga remover a raiz do denominador.

Mas se eu colocar :
.\frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}

O resultado vai ficar diferente, como vou saber qual é o certo?

Obrigado por ler meu tópico Jorgeluis

[sesshou]

quis dizer: se eu não invertar o sinal do conjugado

[lucasgg]

...

Mas se eu colocar :
.\frac{4+\sqrt{5}}{4+\sqrt{5}}

O resultado vai ficar diferente, como vou saber qual é o certo?

Obrigado por ler meu tópico Jorgeluis

Você faz essa operação porque você elimina a raiz no denominador, isso devido a seguinte característica:

\((a+b)(a-b) = a^2-ab+ba-b^2 = a^2-b^2\)

Exemplo: Racionalize \(\frac{a}{a+b}\), sendo \(a = 3\) e \(b = \sqrt{2}\)

\(\frac{a}{a+b} = \frac{3}{3+sqrt{2}} = \frac{3}{3+sqrt{2}} \cdot \frac{3-sqrt{2}}{3-sqrt{2}} = \frac{3(3-sqrt{2})}{(3+sqrt{2})(3-sqrt{2})} = \frac{3(3-sqrt{2})}{9-2} = \frac{3(3-sqrt{2})}{7}\)

supondo uma expressão como: 1/1+V100 resolução: 1/1+V100 = 1/1+10 = 1/11 = 0,0909090909
Se aplicasse a regra a resposta seria diferente, veja: 1/1+V100 * 1-V100/1-V100 = 1/10-100 = 1/90 = 0.0111111111
Então, por curiosidade tentei sem inverter os sinais do conjugado, ficou: 1/1+V100 *1+V100/1+100 = 1/10+100 = 1/110 = 0,0090909091

\(\frac{1}{1+sqrt{100}} \cdot \frac{1-\sqrt{100}}{1-\sqrt{100}} = \frac{1-\sqrt{100}}{1-100} = \frac{-9}{-99} = 0,090909...\)

[sesshou]

Olá pessoal, então, resolvi testar no wolfram e observer qeu deu o mesmo resultado das duas formas:
\(\frac{23}{4+\sqrt(5)}* \frac{4+\sqrt(5)}{4+\sqrt(5)}\)
e
\(\frac{23}{4+\sqrt(5)}* \frac{4-\sqrt(5)}{4-\sqrt(5)}\)

ambos no wolfram deram = 3.688221501591348816599000510834604234987797975357718940160…

então eu fiz com
1/(1+sqrt(100))*(1+sqrt(100))/(1+sqrt(100))

e

1/(1+sqrt(100))*(1-sqrt(100))/(1-sqrt(100))

e vi que os dois tabmém deram
0.090909090909090909090909090909090909090909090909090909090

Conclusão: eu tinha calculado errado o 1/(1+sqrt(100), por isso me confundi. Obrigado