Calcular a soma dos divisores positivos de determinado número

[Fernando Magalhães]

Existe alguma maneira prática de resolver esta questão?
Qual a soma dos divisores positivos de 7200?

[jorgeluis]

Fernando,
os divisores não seguem uma sequencia linear de forma a criar uma PA ou PG, ou até mesmo uma função. Certamente, existe uma forma excentrica de se achar o resultado, espero que alguém encontre uma solução, pois, despertou minha curiosidade.

Peço ajuda aos universitários: Baltuilhe, Sobolev, Carpentier, Fraol, Professor Helio, e aos demais contribuidores oficiais!!!

[Estanislau]

https://pt.wikipedia.org/wiki/Função_divisor

[Fernando Magalhães]

Caros Srs. Então a solução seria achar todos os divisores e somar?

[jorgeluis]

Fernando Magalhães,
encontrar os 54 divisores seria loucura, deve haver outra forma, vamos aguardar, talvez alguém já tenha resolvida uma questão parecida !!!

[Estanislau]

Caros Srs. Então a solução seria achar todos os divisores e somar?

Como o Sr. Fernando acha indigno procurar "soma dos divisores" no Google, eu já lhe dei o link onde está tudo necessário, inclusive a fórmula da soma dos divisores e vários exemplos. Está a espera que eu calcule tudo? Não, eu não vou calcular.

[Rui Carpentier]

Fernando, o link dado pelo Estanislau (https://pt.wikipedia.org/wiki/Fun%C3%A7%C3%A3o_divisor) já tem todos os elementos que precisa para responder à questão, não necessita de determinar todos o divisores e calcular a soma. As propriedades básicas para calcular a função divisor \(\sigma (n)\) são \(\sigma (p^a)=\frac{p^{a+1}-1}{p-1}\) (se p for primo) e \(\sigma (nm)=\sigma (n)\sigma (m)\) (se m e n forem primos entre si). Logo tudo o que tem a fazer é fatorizar o número em potências de primos \(n=\prod_{i=1}^k p_i^{a_i}\) e aplicar as duas fórmulas anteriores (exercício).

[professorhelio]

Existe alguma maneira prática de resolver esta questão?
Qual a soma dos divisores positivos de 7200?

Primeiro você fatora o número: 7200 = 2^5.3².5²
Agora você usa a seguinte fórmula:
[(fator elevado ao expoente dele mais 1) menos 1] dividido pelo (fator menos 1)
Repita isso para todos os fatores e depois multiplica os resultados.
Assim, fica: {[2^(5 + 1) - 1]/(2 - 1)}.{[3^(2 + 1) - 1]/(3 - 1)}.{[5^(2 + 1) - 1]/(5 - 1)} = 25389

[jorgeluis]

Muito bom pessoal,
Valeu Professor Helio, Carpentier, Estanislau!!!

\(7200=2^5.3^2.5^2\)

\(\frac{2^{(5+1)} - 1}{(2-1)} \times \frac{3^{(2+1)} - 1}{(3-1)} \times \frac{5^{(2+1)} - 1}{(5-1)}=25389\)