Determine um natural N tal que

[MariaDuarte1]

Determine um natural N, sabendo que é um cubo perfeito, que admite 16 divisores e que, dividido por 11, gera um quociente primo e resto igual a 1.

[jorgeluis]

se N é cubo perfeito, então, sua decomposição em fatores primos é do tipo:
\(N=x^3.y^3\)
considerando x,y os menores fatores primos (2,3) temos:
\(N=2^3.3^3
N=216\)

n de divisores:
\(n=(3+1).(3+1)
n=16\)

\(\frac{216}{11}=19,636363...
ou
216=11 \times 19 + 7\)

ou seja, o resto é 7 e não 1.

[MariaDuarte1]

obrigada amigo

[Rui Carpentier]

Caro Jorge,
Há algumas incorreções na sua resolução:

se N é cubo perfeito, então, sua decomposição em fatores primos é do tipo:
\(N=x^3.y^3\)

Não necessariamente, se N é cubo perfeito, então, sua decomposição em fatores primos é do tipo:
\(N=p_1^{3e_1}\cdot p_2^{3e_2}\cdots p_k^{3e_k}\) com os \(e_i\)'s inteiros positivos.
Claro que para que N tenha 16 divisores é necessário que \((3e_1+1)\cdot (3e_2+1)\cdots (3e_k+1)=16\) e isso só é possível se k=2 e \(e_1=e_2=1\) (ou seja, \(N=p_1^{3}\cdot p_2^{3}\) que era a sua consideração inicial) ou k=1 e \(e_1=5\) (ou seja, \(N=p^{15}\))

considerando x,y os menores fatores primos (2,3) temos:
\(N=2^3.3^3
N=216\)

(...)

\(216=11 \times 19 + 7\)

ou seja, o resto é 7 e não 1.

Porquê que x,y têm de ser os menores primos? Porque não x=31 e y=211 ou outro qualquer par de primos, por exemplo?

[Rui Carpentier]

Cara Maria,
Tem a certeza que o enunciado é esse mesmo. É que aparenta não ter solução. Reveja o meu raciocínio.
Se N é um cubo perfeito e dividido por 11 dá quociente primo e resto 1 então temos a seguinte equação:
\(N=x^3=11p+1\) com x inteiro e p primo. Ou seja, \(11p=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\).
Sendo p primo temos, pelo teorema fundamental da aritmética, que (1): \(x-1=11\) e \(x^2+x+1=p\) ou (2): \(x-1=p\) e \(x^2+x+1=11\). Ora (2) não pode ser pois \(x^2+x+1=11\) não tem solução inteira. Portanto resta (1): x=12 e p=157. O problema com esta solução é que \(N=12^3=2^6\cdot 3^3\) tem \((6+1)(3+1)=28\) divisores em vez de 16 divisores como é pedido.
Por isso é que acho que há algum dado errado no enuciado. Ou é o número de divisores, ou é o resto que é diferente de 1, ou é outro primo em vez de 11 (por exemplo com 13 já há solução \(N=14^3=13\times 211 +1\)).