Dados dois números N e M temos que NM=mmc(N,M)mdc(N,M). Tendo isto em conta, o problema consiste em encontrar uma solução inteira da equação:
\(x(x+24)=12y^2\) (onde x e x+24 são os números que diferem entre si de 24 e y é o mdc destes).
Resolvendo em ordem a x temos que, após algumas simplificações, \(x=-12+2\sqrt{36+3y^2}\). Ou seja, tem de existir dois inteiros y,z tais que \(z^2=36+3y^2 \Leftrightarrow z^2-3y^2=36\). É fácil ver que, para que y e z sejam soluções inteiras, terão que ser múltiplos de 6 (exercício), logo o problema fica reduzido a uma
equação de Pell: \(Z^2-3Y^2=1\) (onde \(z=6Z\) e \(y=6Y\)). Esta equação tem, por um teorema de Lagrange, um número infinito de soluções, sendo a mais pequena: Z=2 e Y=1. No entanto, temos de determinar aquela(s) em que \(y=6Y\) é o mdc de \(x=-12+2z=-12+12Z\), e \(x+24=12+12Z\) o que não parece tarefa fácil.