jorgeluis Escreveu:Lasilva,
vou fazer uma demonstração pra você entender:
nº de divisores de 4:
\(k=3\)
são eles:
\(1,2,4\)
o produto deles é:
\(P=1\times 2 \times 4
P=8\)
ou seja,
\(P=(\sqrt{n})^{k}
P=(\sqrt{4})^{3}
P=2^3
P=8\)
Jorge, isso não é uma demonstração, é só um exemplo. A demonstração de o produto dos divisores de n é \(\sqrt{n}^k\), onde k é o nº de divisores de n, é análoga à demonstração de que a soma dos primeiros n números é \(\frac{n(n+1)}{2}\). Se notarmos que, para qualquer divisor d de n, n/d também é divisor então o produto dos divisores ao quadrado é: \(P^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)^2=\left(\prod_{d\in D}d\right)\times\left(\prod_{d\in D}\frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}\left(d\times \frac{n}{d}\right)=\prod_{d\in D}n =n^{|D|}=n^k\) (aqui D é o conjunto dos divisores de n). Portanto, \(P=\sqrt{n}^k\).