Indução Finita: 1 + x + x² + ... + x^{n - 1}

[danjr5]

Boa noite a todos!
Estou iniciando os estudos em Os números por conta própria, pois vou destrancar minha matrícula no próximo semestre e pretendo cursar a disciplina mencionada, com isso vou precisar de bastante ajuda. [risos]

Já no primeiro exemplo - a dificuldade! Não consegui compreender a solução do livro.

Se puderem...

Desde já agradeço!

Segue a questão:

Mostre que \(1 + x + x^2 + ... + x^{n - 1} = \frac{x^n - 1}{x - 1}\)

[santhiago]

Boa noite . Para fazermos uma analogia perceba que \(x^n - a^n = (x-a)(x^{n-1} + x^{n-2} a + \dots +x \cdot a^{x-2} + a^{n-1} )\) . Onde ,dividindo \(x^n - a^n\) por \(x-a\) obtemos \(x^{n-1} + x^{n-2} a + \dots +x \cdot a^{x-2} + a^{n-1}\) .De acordo com o exercício que postou , \(a = 1\) .

Como o objetivo é provar por indução finita . Então ,

Para \(n= 1\) o resultado é claramente verdadeiro (por vafor verifique ! ). Suponhamos que temos provado que o resultado seja verdadeiro para \(n\) natural .

Vamos provar que o resultado será verdadeiro também para \(n+1\) natural .

Temos :

\(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} + x^{n} = \left(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} \right ) + x^n\)

\(\left(1 + x + x^2 + \dots + x^{n-1} \right ) + x^n = \frac{x^n -1}{x-1} + x^n = \frac{x^n(1 +[x-1]) -1}{x-1} = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}\)

Espero que ajude caso esteja correto .

[danjr5]

Consegui!

Quando \(\fbox{n = 1}\):

\(x^{1 - 1} = \frac{x^1 - 1}{x - 1}\)

\(x^0 = \frac{x - 1}{x - 1}\)

1 = 1


Quando \(\fbox{n = k}\):

\(1 + x + x^2 + ... + x^{k - 1} = \frac{x^k - 1}{x - 1}\)


Quando \(\fbox{n = k + 1}\):

\(1 + x + x^2 + ... + x^{k + 1 - 1} = \frac{x^{k + 1} - 1}{x - 1}\)

Nem é mais necessário continuar... Valeu Santhiago!!

Até a próxima.