Indução Finita: 1² + 2² + ... + n²

[danjr5]

Prove por indução que \(1^2 + 2^2 + ... + n^2 =\frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}\)

Quando faço \(\fbox{n = k + 1}\), a igualdade não é a esperada, não sei o porquê vejam:

\(1^2 + 2^2 + ... + (k + 1)^2 = \frac{(k + 1)(k + 1 + 1)(2k + 2 + 1)}{6}\)


\(\left ( 1^2 + 2^2 + ... + k^2 \right ) + 2k + 1 = \frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}\)


\(\frac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6} - \frac{k(k + 1)(2k + 1)}{6} = 2k + 1\)


\(\frac{k + 1}{6} \cdot \left [ (k + 2)(2k + 3) - k(2k + 1) \right ] = 2k + 1\)


\(\frac{k + 1}{6} \cdot \left [ \cancel{2k^2} + 3k + 4k + 6 - \cancel{2k^2} - k \right ] = 2k + 1\)


\(\frac{k + 1}{6} \cdot (6k + 6) = 2k + 1\)

\((k + 1)(k + 1) = 2k + 1\)

\(\fbox{\fbox{k^2 + 2k + 1 = 2k + 1}}\)

Não consigo perceber o erro!

[santhiago]

Boa noite .

Não seria \((1^2 + \dots + 2k^2 ) + 2k +1\) ???

Pois note que teremos \(k+1\) parcelas . Sendo ,

\(1^2 + 2^2 +\dots + k^2 + (k+1)^2\) .Parece que você desconsiderou o termo \(k^2\) da soma. Por favor verifique .

[danjr5]

Santhiago,
se entendi a explicação, substituí erradamente quando deveria ter acrescentado. É isso?!

[santhiago]

Boa noite, o que quero dizer é que você desconsiderou o termo \(k^2\) da soma parcial .De acordo com o seu desenvolvimento ,ficou \(1^2 + 2^2 + \dots + (k+1)^2\) .
Isto estar errado , pois o correto é \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + k^2 +(k+1)^2\) . Conforme seu raciocínio teríamos \(( 1^2 + 2^2 + \dots + k^2 ) +2k + 1\) e não \(( 1^2 + 2^2 + \dots + 2k^2 ) +2k + 1\) que é o certo .Mas veja isto não tem fundamento algum .Qual o objetivo de adotar este método ?

Como sugestão ,uma vez que mostramos a veracidade para o caso base e por conseguinte por passo indutivo vamos provar que é o resultado será válido para \(k+ 1\) .

Note que ,

\(\sum_{i = 1}^{k+1} i^2 = (k+1)^2 + \sum_{i = 1}^{k} i^2\) .

Como estamos supondo que o resultado é verdadeiro para \(n = k\) ,então


\(\sum_{i = 1}^{k+1} i^2 = (k+1)^2 + \sum_{i = 1}^{k} i^2 = (k+1)^2 + \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}\)

\(= \frac{6(k+1)^2 +k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k +1)]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[6k + 6 + k(2k+1)]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[(k + 2) + 3k+4+ k(2k+3)]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+1) + k+2+k+1]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+1+ 1) ]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[(2k+3)(k+2) ]}{6}\) .

Perceba que \(\frac{(k+1)[(2k+3)(k+2) ]}{6}\) é exatamente a expressão \(\frac{(n)[(2n+1)(n+1) ]}{6}\) para \(n = k+1\) .

Espero que ajude .

[xdanilex]

santhiago,

\(= \frac{(k+1)[6k + 6 + k(2k+1)]}{6}\)

\(= \frac{(k+1)[(k + 2) + 3k+4+ k(2k+3)]}{6}\)


Poderia por favor me explicar como realizou esta passagem? Colocou o (k+2) em evidência? Não consigo chegar neste
resultado de jeito nenhum!

[santhiago]

Vou fazer com mais detelhes ,ok ?

OBS.:

(1) n = k+1
(2) n+1 = k+2
(3) 2n+1 = 2k + 3

Devemos chegar em (***) (1)*(2)*(3)/6 .

Temos :

\((k+1)^2 + \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{6(k+1)^2 +k(k+1)(2k+1) }{6} = \frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k+1)]}{6}\)

Sua dúvida estar na próximo passo ,certo ? Mas todo desenvolvimento em diante é desnecessário,não que esteja errado ,falta de atenção da minha parte neste dia .

Veja :

\(6(k+1)+k(2k+1)\) ,

Sendo \(2k+1 = (2k+1) +2 +(-2) = (2k+1 +2 ) - 2 = 2k+3 -2\)

então , \(6(k+1)+k(2k+1) = 6(k+1) + k(2k + 3 - 2) = 6(k+1) + k([2k + 3] - 2) = 6k + 6 + k[2k + 3] -2k = 4k + 6 + k[2k + 3] = 2[2k + 3] + k[2k+3] = [2k+3][k+2]\)

Ou seja , \(\frac{(k+1)[6(k+1)+k(2k+1)]}{6} = \frac{(k+1)(2k+3)(k+2)}{6}\)

Respondendo sua dúvida ,

\((k+2) + 3k + 4 + k(2k+3) = 4k +6 + k(2k+3) = 2(2k+3) + k(2k+3) = (k+2)(2k+3)\)

Ficou claro ?

[xdanilex]

Sim, valeu santhiago!