danjr5 Escreveu: Demonstre por indução finita \(\forall n \geq 1\) que \(1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2\)
Gostaria de saber se o raciocínio empregado está correto, se houve alguma falha, por favor, apontem.
Verificando quando \(\fbox{n = 1}\):
1³ = 1²
1 = 1 Quando \(\fbox{n = k}\):
\(1^3 + 2^3 + ... + k^3 = (1 + 2 + ... + k)^2\)
Por fim, quando \(\fbox{n = k + 1}\):
\(\\ \underbrace{1^3 + 2^3 + ... + k^3} + (k + 1)^3 = [1 + 2 + ... + k + (k + 1)]^2 \\\\ (1 + 2 + ... + k)^2 + (k + 1)^3 = [1 + 2 + ... + k + (k + 1)]^2\)
A partir daqui, comecei dar várias voltas que não levavam a lugar algum. Depois de MUUUITAS tentativas, tive a ideia de inserir P.A (soma dos termos), e essa é minha dúvida - posso fazer isso? Pois deu certo!
Contin...
\(\left [ \frac{(1 + k)k}{2} \right ]^2 + (k + 1)^3 = \left [ \frac{(1 + k + 1)(k + 1)}{2} \right ]^2\)
\(\frac{k^2(k + 1)^2}{4} + (k + 1)^3 = \frac{(k + 2)^2(k + 1)^2}{4}\)
\(\cancel{(k + 1)^2} \left [ \frac{k^2}{4} + (k + 1) \right ] = \frac{\cancel{(k + 1)^2}(k + 2)^2}{4}\)
\(\frac{k^2}{4} + (k + 1) = \frac{(k + 2)^2}{4}\)
\(\fbox{\frac{k^2}{4} + k + 1 = \frac{k^2}{4} + k + 1}\)
Att,
Daniel F.