Indução: 5^n - 1
25 jan 2013, 02:34
Demonstre que \(5^n - 1\) é múltiplo de 24 para todo número natural \(n\) par.
Não estou mui certo do que fiz!
Desde já agradeço.
Daniel.
Não estou mui certo do que fiz!
Desde já agradeço.
Daniel.
Re: Indução: 5^n - 1
25 jan 2013, 18:22
Tambem tenho curiosidade se é de todo possivel resolver este problema...
A indução funciona da seguinte maneira:
Assumimos que \(S(n)\) é verdade , neste caso, \(S(n) = 5^{n} - 1\), n par ∊ \(\mathbb{N}\), é múltiplo de 24.
Testamos com \(S(1)\) onde neste caso \(S(1)\) iria falhar....
Poderíamos rescrever o problema como sendo \(S(n) = 5^{2n} - 1\)
Testando \(S(1)\) iriamos obter \(S(1) = 5^{2} -1 = 24\) , logo múltiplo de 24.
Mas o próximo passo é , assumindo que \(S(n)\) é verdade, testamos \(S(n+1)\) e ai, mais uma vez iria falhar devido à natureza do problema.
Aguardo uma resposta para este problema
A indução funciona da seguinte maneira:
Assumimos que \(S(n)\) é verdade , neste caso, \(S(n) = 5^{n} - 1\), n par ∊ \(\mathbb{N}\), é múltiplo de 24.
Testamos com \(S(1)\) onde neste caso \(S(1)\) iria falhar....
Poderíamos rescrever o problema como sendo \(S(n) = 5^{2n} - 1\)
Testando \(S(1)\) iriamos obter \(S(1) = 5^{2} -1 = 24\) , logo múltiplo de 24.
Mas o próximo passo é , assumindo que \(S(n)\) é verdade, testamos \(S(n+1)\) e ai, mais uma vez iria falhar devido à natureza do problema.
Aguardo uma resposta para este problema
Editado pela última vez por SergioMonteiro em 26 jan 2013, 21:07, num total de 3 vezes.
Re: Indução: 5^n - 1 [resolvida]
25 jan 2013, 21:55
Boa noite,
Aqui vai o meu desenvolvimento para a avaliação dos colegas:
\(S(0): 5^0 - 1 = 0 = 24 \cdot 0 => \text{Ok}\).
Vamos supor, para \(n=k\) par, que é válida a expressão:
\(S(k): 5^k - 1 = 24p => \text{Ok}\), por hipótese.
Verifiquemos se a expressão é válida para o próximo par, \(k+2\):
\(S(k+2): 5^{k+2} - 1 = 5^2 \cdot 5^k - 25 + 24 = (5^k-1) \dot 5^2 + 24 = 24p \cdot 5^2 + 24 = 24 \cdot (5^2 \cdot p + 1)\). E isso mostra que a expressão é válida para todo \(n\) par.
Aqui vai o meu desenvolvimento para a avaliação dos colegas:
\(S(0): 5^0 - 1 = 0 = 24 \cdot 0 => \text{Ok}\).
Vamos supor, para \(n=k\) par, que é válida a expressão:
\(S(k): 5^k - 1 = 24p => \text{Ok}\), por hipótese.
Verifiquemos se a expressão é válida para o próximo par, \(k+2\):
\(S(k+2): 5^{k+2} - 1 = 5^2 \cdot 5^k - 25 + 24 = (5^k-1) \dot 5^2 + 24 = 24p \cdot 5^2 + 24 = 24 \cdot (5^2 \cdot p + 1)\). E isso mostra que a expressão é válida para todo \(n\) par.
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 10:46
Olá SergioMonteiro,
seja bem-vindo a equipe!
A meu ver, seu raciocínio está correto. Apenas não entendi por que considera falho \(S(1)\), uma vez que, é múltiplo de 24!
Vejamos o \(S(2)\):
\(\\ S(n) = 5^{2n} - 1 \\\\ S(2) = 5^4 - 1 \\\\ S(2) = 624 \\\\ S(2) = 24 \times 26\)
Fraol,
mais uma vez agradeço.
Eu estava concluindo o problema de maneira errada. Mas, agora entendi!
Até a próxima!!
Daniel.
seja bem-vindo a equipe!
A meu ver, seu raciocínio está correto. Apenas não entendi por que considera falho \(S(1)\), uma vez que, é múltiplo de 24!
Vejamos o \(S(2)\):
\(\\ S(n) = 5^{2n} - 1 \\\\ S(2) = 5^4 - 1 \\\\ S(2) = 624 \\\\ S(2) = 24 \times 26\)
Fraol,
mais uma vez agradeço.
Eu estava concluindo o problema de maneira errada. Mas, agora entendi!
Até a próxima!!
Daniel.
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 20:41
danjr5 Escreveu:Olá SergioMonteiro,
seja bem-vindo a equipe!
A meu ver, seu raciocínio está correto. Apenas não entendi por que considera falho \(S(1)\), uma vez que, é múltiplo de 24!
Vejamos o \(S(2)\):
\(\\ S(n) = 5^{2n} - 1 \\\\ S(2) = 5^4 - 1 \\\\ S(2) = 624 \\\\ S(2) = 24 \times 26\)
Fraol,
mais uma vez agradeço.
Eu estava concluindo do problema de maneira errada. Mas, agora entendi!
Até a próxima!!
Daniel.
\(S(1)\)falha porque a condição inicial é que n é par!!!!
se
\(S(n) = 5^{n}-1\) com n par pertencente a N
\(S(1) = 5^{1}-1 = 4\) não é múltiplo de 24, n não é par!!!
Quanto eu sei, [\(S(n) = 5^{n}-1\) com n par pertencente a N] nem é "candidato" a indução, pois esta funciona para todos os n pertence a N, e não de dois em dois n.
Poderíamos tentar remediar essa situação com o seguinte:
\(S(n) = 5^{2n}-1\) para qualquer n pertence a N
\(S(1) = 5^{2}-1 = 24\) OK
\(S(n+1) = 5^{2n+1}-1\) , onde iria falhar logo em n=1 pois \(S(1+1) = 5^{2+1}-1 = 124\) que não é múltiplo de 24.
Teria muito gosto que alguém que compreendesse esta matéria me pudesse esclarecer melhor, mas penso estar certo no que disse.
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 21:20
actualizado.
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 21:39
SergioMonteiro,
boa tarde!
Fiz assim:
Uma vez que, \(5^n - 1\) é múltiplo de 24, então: \(\fbox{24|(5^n - 1)}\)
Se \(n\) é par, então podemos fazer \(n = 2p\). Com isso, temos \(\fbox{24|(5^{2p} - 1)}\) que pode ser escrito na forma... \(\fbox{5^{2p} - 1 = 24q}\) para algum \(q \in \mathbb{Z}\).
Aplicando a indução em \(p\), segue que:
- Quando \(\fbox{p = 1}\)
\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2 \cdot 1} - 1 = 24q \\\\ 5^2 - 1 = 24q \\\\ 24 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|24}}\)
Portanto, é válido!!
- Hipótese: \(\fbox{p = k}\)
\(5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(5^{2k} - 1)}}\)
- Tese: \(\fbox{p = k + 1}\)
\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2(k + 1)} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k + 2} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} \cdot 5^2 - 1 = 24q \\\\ 25 \cdot 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + \underbrace{5^{2k} - 1} = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + 24q = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(24 \cdot 5^{2k} + 24q)}}\)
C.q.d
boa tarde!
Fiz assim:
Uma vez que, \(5^n - 1\) é múltiplo de 24, então: \(\fbox{24|(5^n - 1)}\)
Se \(n\) é par, então podemos fazer \(n = 2p\). Com isso, temos \(\fbox{24|(5^{2p} - 1)}\) que pode ser escrito na forma... \(\fbox{5^{2p} - 1 = 24q}\) para algum \(q \in \mathbb{Z}\).
Aplicando a indução em \(p\), segue que:
- Quando \(\fbox{p = 1}\)
\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2 \cdot 1} - 1 = 24q \\\\ 5^2 - 1 = 24q \\\\ 24 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|24}}\)
Portanto, é válido!!
- Hipótese: \(\fbox{p = k}\)
\(5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(5^{2k} - 1)}}\)
- Tese: \(\fbox{p = k + 1}\)
\(\\ 5^{2p} - 1 = 24q \\\\ 5^{2(k + 1)} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k + 2} - 1 = 24q \\\\ 5^{2k} \cdot 5^2 - 1 = 24q \\\\ 25 \cdot 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + \underbrace{5^{2k} - 1} = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + 24q = 24q \\\\ \fbox{\fbox{24|(24 \cdot 5^{2k} + 24q)}}\)
C.q.d
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 21:58
Boa noite,
Talvez, para maior clareza, fosse melhor induzir em \(p \in N\) para \(n = 2p\), qual letra se usa não é importante, posto que n é par pelas condições do problema.
Assim:
\(S(0): 5^{2 \cdot 0}-1\) é múltiplo de 24.
\(S(k): 5^{2 \cdot k}-1\) é múltiplo de 24 = Hipótese de indução.
\(S(k+1): 5^{2 \cdot (k+1)}-1 =\) seria a tese que deve ser provada, com aliás já fizemos acima.
Observemos que \(5^{2 \cdot (k+1)}-1 = 5^{(2 \cdot k + 2)}-1\).
Talvez, para maior clareza, fosse melhor induzir em \(p \in N\) para \(n = 2p\), qual letra se usa não é importante, posto que n é par pelas condições do problema.
Assim:
\(S(0): 5^{2 \cdot 0}-1\) é múltiplo de 24.
\(S(k): 5^{2 \cdot k}-1\) é múltiplo de 24 = Hipótese de indução.
\(S(k+1): 5^{2 \cdot (k+1)}-1 =\) seria a tese que deve ser provada, com aliás já fizemos acima.
Observemos que \(5^{2 \cdot (k+1)}-1 = 5^{(2 \cdot k + 2)}-1\).
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 22:03
Já descobri o meu erro
\(S(n+1) = 5^{2(n+1)} - 1\)
\(S(n+1) = 5^{2n+2} -1\)
se n = 1 fica:
\(S(1+1) = 5^{2+2} - 1 = 624\), múltiplo de 24
SergioMonteiro Escreveu:\(S(n+1) = 5^{2n+1}-1\) , onde iria falhar logo em n=1 pois \(S(1+1) = 5^{2+1}-1 = 124\) que não é múltiplo de 24.
\(S(n+1) = 5^{2(n+1)} - 1\)
\(S(n+1) = 5^{2n+2} -1\)
se n = 1 fica:
\(S(1+1) = 5^{2+2} - 1 = 624\), múltiplo de 24
Re: Indução: 5^n - 1
26 jan 2013, 22:21
danjr5 Escreveu:\(25 \cdot 5^{2k} - 1 = 24q \\\\ 24 \cdot 5^{2k} + \underbrace{5^{2k} - 1} = 24q \\\\\)
Como é que se passa da primeira para a segunda linha?
danjr5 Escreveu: \(\fbox{\fbox{24|(24 \cdot 5^{2k} + 24q)}}\)
C.q.d
devo confessar que não percebi o que o daniel escreveu, para alem de que no fim só provou algo que já é obvio a meu ver.
Qualquer numero multiplicado por 24 e sumado a qualquer numero múltiplo de 24 será sempre divisível por 24!