Divisibilidade: 7|(4n² - 3)

[danjr5]

Prove que não existe \(n \in \mathbb{N}\) tal que \(7|(4n^2 - 3)\).

[Rui Carpentier]

Se existisse um \(n\) tal que \(7|(4n^2-3)\) então também teríamos que \(7|n^2+1\) pois \(4(n^2+1)=(4n^2-3)+7\). Nesse caso teríamos que \(n^2\equiv -1 mod7\) o que implicaria que \(n^6\equiv (-1)^3\equiv -1 mod7\) o que contradiz o teorema (das congruências) de Fermat.