Divisibilidade

[danjr5]

Dada a expressão \(a^3b - ab^3 = c\), onde \(a\) e \(b\) são números inteiros quaisquer. Então, o número \(c\) é sempre divisível por:
a) 4
b) 2
c) 5
d) 7
e) 8

Obs.: não tenho o gabarito!

[santhiago]

Boa noite .Pensei em separar em 3 casos a e b simultaneamente pares e ímpares e apenas um dos dois par .

Se a e b são pares então , \(a = 2 \cdot t\) e \(b = 2 t^{*}\) para \(t ,t^{*}\) naturais .

Neste caso ,

\(c = ab(a^2 - b^2) = ab(a-b)(a+b) = 4 t \cdot t^{*} (2t - 2t^{*})(2t + 2t^*) = 16 \cdot t\cdot t^* (t-t^*)(t+t^*)\) . c será divsível por 16

Entretanto , para \(a\) ímpar e \(b\) par :


\(c = 2 t^*(2t + 1)(2[t-t^*] + 1)(2[t+t^*]+1)\)

\(\rightarrow\) c será divsível por 2

Para a par e b ímpar é análogo .


Para ambos ímpares ,

\(c = (2t+1)(2t^*+1)(2t + 1 - 2t^* - 1)(2t+1 + 2t^* + 1) = (2t+1)(2t^*+1)(2[t-t^*])(2[t + t^* + 1]) = 4 (2t+1)(2t^*+1)([t-t^*])(t + t^* + 1)\)
\(\rightarrow\) c será divsível por 4 .

Logo , c sempre será divisível por 2 .

Espero que esteja correto .

[danjr5]

Santhiago,
também achei \(\fbox{2}\) como resposta, no entanto, fiz de maneira menos formal: atribuí valores a \(a\) e \(b\)...

Obrigado.

Até a próxima!