[4^(2005) - 1]/3 ∊ Z

[danjr5]

Mostre que \(\frac{4^{2005} - 1}{3}\) é um número inteiro.

[santhiago]

Boa tarde ,pensei em fazer da seguinte forma :

\(4^{2005} = 4^{2004}\cdot 4 = 4^{2004} \cdot (3+1) = 3\cdot 4^{2004} + 4^{2004}\)

Mas ,

\(4^{2004} = 4^{2003} = 3 \cdot 4^{2003} + 4^{2002}\)

Prosseguindo com o mesmo raciocínio ,

\(4^{2002} = 3 \cdot 4 ^{2001} + 4^{2001}\)

(...)

\(4^{4} = 3 \cdot 4^{3} + 4^{3}\)

\(4^{3} = 3 \cdot 4^{2} + 4^{2}\)

\(4^2 = 3 \cdot 4^{1} + 4^{1}\) (Se não estiver aparecendo a imagem é : 4^2 = 3 \cdot 4^{1} + 4^{1} )

\(4^1 = 3 \cdot 4 ^{0} + 4^0\) (Se não estiver aparecendo a imagem é : 4^1 = 3 \cdot 4 ^{0} + 4^0 )

Assim , \(4^{2005} = 3\cdot 4^{2004} + 3 \cdot 4^{2003} + 3 \cdot 4 ^{2002} + \cdots + 3 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4 + 4\) .

logo ,

\(4^{2005} - 1 = 3\cdot 4^{2004} + 3 \cdot 4^{2003} + 3 \cdot 4 ^{2002} + \cdots + 3 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4 + 3 = 3 \cdot \left( 4^{2004} + 4^{2003} + 4^{2002} + \cdots + 4^{3} + 4^{2} + 4 + 1\right)\)

(Se não estiver aparecendo a imagem é : 4^{2005} - 1 = 3\cdot 4^{2004} + 3 \cdot 4^{2003} + 3 \cdot 4 ^{2002} + \cdots + 3 \cdot 4^{3} + 3 \cdot 4 + 3 = 3 \cdot \left( 4^{2004} + 4^{2003} + 4^{2002} + \cdots + 4^{3} + 4^{2} + 4 + 1\right) )


Portanto \(4^{2005} - 1\) é divisível por 3 , ou seja : \((4^{2005} - 1)/3 )\) é um número inteiro .


Por favor se observar algum erro comente .

[danjr5]

Boa tarde ,pensei em fazer da seguinte forma :

\(4^{2005} = 4^{2004}\cdot 4 = 4^{2004} \cdot (3+1) = 3\cdot 4^{2004} + 4^{2004}\)

Mas ,

\(\fbox{4^{2004} = 4^{2003} = 3 \cdot 4^{2003} + 4^{2002}}\)

Talvez tenha cometido um erro de digitação (distração) na parte destacada!
Achei interessante a forma como desenvolveu a questão.
Meus agradecimentos!


Como fiz de outra forma, vou postar minha resolução:

Da fatoração, sabemos que \(\begin{cases} x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \\ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) \\ x^4 - 1 = (x - 1)(x^3 + x^2 + x + 1) \\ ... \end{cases}\)

Com isso,

\(\\ \frac{4^{2005} - 1}{3} =\)

\(\frac{(4 - 1)(4^{2004} + 4^{2003} + 4^{2002} + ... + 4^2 + 4 + 1)}{3} =\)

\(\frac{\cancel{3}(4^{2004} + 4^{2003} + 4^{2002} + ... + 4^2 + 4 + 1)}{\cancel{3}}\)

Portanto, a divisão em questão resulta em um valor inteiro.

[santhiago]

Bom dia .Há um erro de digitação sim , o correto seria \(4^{2004} = 3\cdot 4^{2003} + 4^{2003}\) agradeço por destacar o erro .Achei muito interessante sua resolução também .Até a próxima.