Demonstração da equação

[xdanilex]

Demonstre que para todo inteiro positivo n vale:

1³ + 2³ + ... + n³ = (1/2n(n+1))²

[Sobolev]

A propriedade a provar é

P(n): \(\sum_{i=1}^n i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2\)

1. Provar que a propriedade é verdadeira para n=1. ok!

2. Tomando como hipótese a veracidade de P(n) mostrar que P(n+1) é também verdadeira. Isto é, mostrar que

\(\sum_{i=1}^n i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \Rightarrow \sum_{i=1}^{n+1} i^3 = \left( \frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).

Ora,

\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = (n+1)^3 + \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 =
\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).

[xdanilex]

Muito Obrigado sobolev! Poderia me dizer qual a maneira mais simples de fazer a seguinte passagem? Sempre acabo fazendo procedimentos bem longos, é assim mesmo?

Ora,

\(\sum_{i=1}^{n+1} i^3 = (n+1)^3 + \sum_{i=1}^{n} i^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3 =
\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).[/quote]

[Sobolev]

Não existiu nenhum passo intermédio... apenas coloquei em evidência \(\frac{(n+1)^2}{4}\), uma vez que são termos que figuram na expressão a que se pretendia chegar.

[xdanilex]

Chegando até aqui entendi, mas agora não consigo chegar em n²/4 . (n+2)^2...

\(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).[/quote][/tex]

[João P. Ferreira]

Chegando até aqui entendi, mas agora não consigo chegar em n²/4 . (n+2)^2...

\(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{n^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).

foi apenas um pequeno erro ao escrever, pois o resultado final está certo


\(\frac{(n+1)^2}{4} \left( n^2 + 4(n+1) \right) = \frac{(n+1)^2}{4}(n+2)^2 = \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2\).

lembre-se que \((n+2)^2=n^2+4n+4\)

Excelente resolução caro Sobolev :)

Fiquei a perceber como se resolve por indução, quando há somas de vários termos, algo que nunca havia assimilado corretamente

Cumprimentos