Qual o resultado de Zero Elevado a Zero (0^0)

[abruno]

Olá pessoal,

Sou brasileiro e fui educado em escolas públicas no interior do Tocantins (um dos estados mais pobres deste pais). Então me desculpem pela pergunta, se for muito óbvia. Aprendi na escola que qualquer número elevado a zero teria como resultado 1. Assim \(\infty ^{0} = 1\)
ou, ainda \(x^{0} = 1\). Contudo hoje, e somente hoje, descobrir que zero elevado a zero não tem solução[1]! O que, para mim ao menos, foi um completa surpresa.

Alguém poderia me esplicar o porquê de qualquer número elevado a zero ser 1 e, ainda, por que o zero é uma exceção?

Desde já agradecido,

Alysson Bruno
Palmas(TO)
Brasil
[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Zero_elevado_a_zero

[Sobolev]

Bom dia,

O facto de ao elevar um número à potência zero dar como resultado 1 tem a ver com as regras operatórias da potenciação. Em particular, quando dividimos duas potências com a mesma base, obtemos o seguinte

\(\frac{x^n}{x^m} = x^{m-n}\)

Como esta relação deve ser verdadeira para todos on inteiros m,n , no caso particular de eles serem iguais teremos

(1) \(\frac{x^n}{x^n} = x^{n-n}\)

isto é

\(x^{0} = 1\)

Mas, respondendo à sua pergunta, porque o mesmo não é necessariamente verdade quando x = 0 ? Simplesmente porque nesse caso não seria legítimo ter realizado a divisão na equação (1).

0^0 é considerada uma indeterminação porque o resultado não pode ser obtido de forma geral, havendo respostas diferentes em situações diferentes. Vejamos alguns exemplos

1. \(\lim_{ x \to 0} x^{0} = 1\)

Com base neste resultado, como substituindo directamente na expressão obtemos 0^0, seríamos levados a concluir que 0^0 = 1.

2. \(\lim_{x \to 0} 0^x = 0\)

Agora, como substituindo na expressão inicial também obteriamos 0^0, seríamos levados a concluir que 0^0 = 0.

Em conclusão, vemos que não existe uma forma consistente de definir o valor 0^0, daí ser considerado uma "indeterminação".


P.S. Nalgumas circunstâncias especiais, quando não há nenhuma ambiguidade, e normalmente por uma questão de notação, poderá encontar a convenção de que 0^0=1. Um exemplo desta convenção é o cálculo do termo independente de x nas séries de potências. Esta e outras excepções são convenções de notação e em nada contrariam o que escrevi antes.

[abruno]

Obrigado pelo esclarecimento.