17 fev 2013, 15:19
Demonstre que para todo inteiro positivo \(n\) vale:
\(n < 2^n\)
Editado pela última vez por
danjr5 em 17 fev 2013, 16:27, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título e LaTeX
17 fev 2013, 15:48
Por indução:
- Quando \(\fbox{n = 1}\)
\(\\ n < 2^n \\\\ 1 < 2^1 \\\\ \fbox{1 < 2}\)
Ok!
- Tomemos como hipótese \(\fbox{n = k}\), então:
\(\\ n < 2^n \\\\ \fbox{k < 2^k}\)
Se é válido para \(k\), então, pelo PIF também é para \(\fbox{n = k + 1}\).
Verifiquemos...
\(\\ n < 2^n \\\\ (k + 1) < 2^{(k + 1)} \\\\ k + 1 < 2^k \cdot 2^1 \\\\ 1 + k < 2 \cdot 2^k \\\\ 1 + k < (1 + 1)2^k \\\\ 1 + \underbrace{k < 2^k}_{hip.} + 2^k\)
É fácil perceber que \(\fbox{1 < 2^k}\). Cqd!