Congruência (Teorema do resto chinês)

[Man Utd]

Determine, se possível, o menor inteiro \(x \geq 301\) que satisfaça o sistema

\(\\ x \equiv 1 \; \text{mod} \; (3) \\ x \equiv 2 \; \text{mod} \; (4) \\ 2x \equiv 3 \; \text{mod} \; (5)\)

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Razão: arrumar título

[Man Utd]

\(\\\\ x\equiv 1mod(3)\\ x\equiv 2mod(4)\\ 2x\equiv 3mod(5)\)

pegando a primeira congruência temos: \(\\\\ x\equiv 1mod(3)\Leftrightarrow x=3b+1 ,(I)\) , agora substituindo na segunda congruência temos:

\(\\\\ 3b+1\equiv 2mod(4)\\\\ 3b\equiv1mod(4)\\\\ -5*3b\equiv1*-5mod(4)\\\\ -15b\equiv-5mod(4) \\\\ b\equiv-1mod(4)\Leftrightarrow b=4c-1,(II)\)

susbstituindo (II) em (I):

\(\\\\ x=3b+1 \\\\ x=3(4c-1)+1\\\\ x=12c-2,(III)\)

susbtituindo na terceira congruência temos :

\(\\\\ 2x\equiv 3mod(5)\\\\ 2(12c-2)\equiv 3mod(5)\\\\ 24c\equiv 7mod(5) \\\\ -24c\equiv -7mod(5) \\\\ c\equiv 3mod(5)\Leftrightarrow c=5d+3, (IV)\)

susbtituindo (IV) em (III) :

\(\\\\ x=12c-2 \\\\ x=12(5d+3)-2 \\\\ x=60d+34\)

como x>=301 então tomemos d=5 , x=334