Manipulação algébrica de raízes.
01 mai 2013, 02:14
Mostre que o número x= \(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\) é Natural.
Re: Manipulação algébrica de raízes.
01 mai 2013, 14:45
Bom dia,
A primeira conclusão que tiramos é que \(x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\) é um número positivo.
Agora elevando ao quadrado, ambos os lados da igualdade vem:
\(x^2 = 6+\sqrt{6+\sqrt{6...}} \Leftrightarrow x^2 = 6 + x \Leftrightarrow\).
\(x^2 - x - 6 = 0\)
Agora, lembrando a primeira conclusão acima, basta resolver essa quadrática.
Depois que você concluir coloque a sua resposta aqui pra gente ou, se necessário, comente suas dúvidas.
A primeira conclusão que tiramos é que \(x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\) é um número positivo.
Agora elevando ao quadrado, ambos os lados da igualdade vem:
\(x^2 = 6+\sqrt{6+\sqrt{6...}} \Leftrightarrow x^2 = 6 + x \Leftrightarrow\).
\(x^2 - x - 6 = 0\)
Agora, lembrando a primeira conclusão acima, basta resolver essa quadrática.
Depois que você concluir coloque a sua resposta aqui pra gente ou, se necessário, comente suas dúvidas.
Re: Manipulação algébrica de raízes.
01 mai 2013, 21:41
Opa!!! Muito obrigado amigo!
Eu resolvi a quadrática e encontrei x= -2 e x= 3, como se trata de um número pertencente aos Naturais então a resposta seria x= 3.
Mas me restou apenas uma dúvida, quando você elevou os dois membros da equação ao quadrado, porque você tirou o 6 da operação de radiciação ?
Perguntei isso por se tratar de uma soma, então ao elevar ao quadrado eu entendi que o resultado daria \(\sqrt{36+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\)
Minha dúvida foi a retirada do 36 da raiz, pois por ser uma soma, ao meu ver isso não seria possível.
Muito obrigado novamente pela atenção!
Abraços.
Eu resolvi a quadrática e encontrei x= -2 e x= 3, como se trata de um número pertencente aos Naturais então a resposta seria x= 3.
Mas me restou apenas uma dúvida, quando você elevou os dois membros da equação ao quadrado, porque você tirou o 6 da operação de radiciação ?
Perguntei isso por se tratar de uma soma, então ao elevar ao quadrado eu entendi que o resultado daria \(\sqrt{36+\sqrt{6+\sqrt{6...}}}\)
Minha dúvida foi a retirada do 36 da raiz, pois por ser uma soma, ao meu ver isso não seria possível.
Muito obrigado novamente pela atenção!
Abraços.
Re: Manipulação algébrica de raízes.
01 mai 2013, 22:17
Oi,
Se você tivesse a seguinte expressão: \(x = \sqrt{9}\) então \((x)^2 = (\sqrt{9})^2\) o que seria equivalente a \((x)^2 = 9\) ( observando novamente que devemos ter \(x\) positivo ).
Em outras palavras, deixando de lado maiores formalismos, se elevamos uma raiz quadrada ao quadrado então cancelamos o radical com o expoente 2.
Logo, o que sobra disso é exatamente o que estava dentro do radical. Veja:
Se você tivesse a seguinte expressão: \(x = \sqrt{9}\) então \((x)^2 = (\sqrt{9})^2\) o que seria equivalente a \((x)^2 = 9\) ( observando novamente que devemos ter \(x\) positivo ).
Em outras palavras, deixando de lado maiores formalismos, se elevamos uma raiz quadrada ao quadrado então cancelamos o radical com o expoente 2.
Logo, o que sobra disso é exatamente o que estava dentro do radical. Veja:
Re: Manipulação algébrica de raízes.
01 mai 2013, 22:31
Ah sim! Agora compreendi! Me desculpa pelo transtorno, e muito obrigado novamente! Você me ajudou bastante!
Espero encontrar mais professores com essa vontade como você!
Haha, forte abraço!
Espero encontrar mais professores com essa vontade como você!
Haha, forte abraço!