Algarismo das unidades de potências

[redmoon]

Porque um numero elevado a uma potência tem o mesmo algarismo das unidades que a unidade desse número elevada a mesma potência? Por exemplo, porque 147^4 tem o mesmo algarismo das unidades que 7^4?

[Sobolev]

Qualquer número natural pode ser escrito na forma

\(n = 10 m + p\)

em que p é o algarismo das unidades de n. Deste modo podemos ver que

\(n^k = (10m + p)^k = \sum_{i=0}^k C^k_i (10 m)^i p^{k-i}\)

observando as várias parcelas da soma anterior vemos que todas excepto a primeira (i=0) têm o algarismo das unidades igual a zero. Deste modo, o algarismo das unidades desta soma tem que ser o algarismo das unidades da primeira parcela, que é justamente \(p^k\) .