Soma dos algarismos

[danjr5]

Porque se somar um número de todas as formas possíveis sem denegrir sua ordem, o resultado é único?

Exemplo:

Número: 349

3 + 4 + 9 = 16
3 + 49 = 52
34 + 9 = 43

Se somar todos os resultados, todos dão 7!

1+6 = 7
5+2 = 7
4+3 = 7

Isso também acontece com muitos outros números. Mas porque isso acontece? Existe uma explicação matemática para isso?

Exemplo com outro número: 7891

7+8+9+1 = 25 (2+5=7)
78+91 = 169 (1+6+9=16[1+6]=7 !)
7+891 = 898 (8+9+8=25[2+5]=7 !)
789+1 = 790 (7+9+0=16[1+6]=7 !)
7+89+1 = 97 (9+7=16[1+6]=7 !)

Editado pela última vez por danjr5 em 29 jun 2013, 10:08, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[Rui Carpentier]

Há sim uma explicação matemática para isso. Quando se faz uma soma desse género esta mantém-se congruente módulo 9 com o número dado. Caso não saiba o que isso significa, quer simplesmente dizer que dividindo a soma por 9 o resto é igual o que se obteria dividindo o número inicial por 9 (exemplo: 1234=137x9+1 e 12+34=46=5x9+1). Tal acontece pois todas as potências de 10 são congruentes com 1 módulo 9 (ou seja, dão resto 1 quando divididas por 9), por exemplo: 10000=1111x9+1. Assim sendo, temos que qualquer soma de subnúmeros respeitando a ordem tem a mesma congruencia módulo 9 que o número inicial. Por exemplo, abcdef= 10000ab+10cde+f=9x(1111ab+cde)+ab+cde+f, logo abcdef e ab+cde+f são congruentes módulo 9.
Como no final do processo ficamos com um só algarismo não nulo, este terá de ser único (será o resto da divisão do número por 9, excepto se for divisível por 9 em que dá 9 e não 0).