Razão: pedras no vaso

[danjr5]

Não sei muito bem como resolver este problema e em qual área da matemática ele se encaixa.

problema: Um vaso contem pedras de três cores diferentes. A razão entre o número de pedras azuis e vermelhas é de 3\8 e a razão entre pedras brancas e azuis é de 5\8. Assinale a alternativa que apresenta um valor possíbel do total de pedras contidas no vaso.
resposta dada: 162

Por gentileza alguém saberia como resolver esta questão?
Obrigado!

Editado pela última vez por danjr5 em 29 jun 2013, 15:10, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título

[danjr5]

Core,
boas vindas meu caro!
Trata-se de uma questão de Aritmética - Razão e Proporção.

Número de pedras azuis: a
Número de pedras brancas: b
Número de pedras vermenlas: v

A razão entre o número de pedras azuis e vermelhas é de 3\8...

\(\frac{\text{pedras azuis}}{\text{pedras vermelhas}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{a}{v} = \frac{3}{8} \Rightarrow \fbox{v = \frac{8a}{3}}\)

... e a razão entre pedras brancas e azuis é de 5\8.

\(\frac{\text{pedras brancas}}{\text{pedras azuis}} = \frac{5}{8} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{5}{8} \Rightarrow \fbox{b = \frac{5a}{8}}\)

O total de pedras é dado pela soma: pedras azuis + pedras brancas + pedras vermelhas

\(a + b + v =\)

\(a + \frac{5a}{8} + \frac{8a}{3} =\)

\(\frac{a}{1/24} + \frac{5a}{8/3} + \frac{8a}{3/8} =\)

\(\frac{24a + 15a + 64a}{24} =\)

\(\frac{103a}{24}\)

Core, pelas minhas contas a resposta não pode ser 162. Podes fornecer as alternativas?

[core]

Desculpe pois cometi um erro ao postar o enunciado. Onde está escrito " a razão entre pedras brancas e azuis é de 5\8." o correto é 5\6.

Alternativas
(a)140; (b)145; (c)153; (d)156; (e)162

Resposta dada:
letra (e)162

[danjr5]

Agora sim!!

Número de pedras azuis: a
Número de pedras brancas: b
Número de pedras vermenlas: v

A razão entre o número de pedras azuis e vermelhas é de 3\8...

\(\frac{\text{pedras azuis}}{\text{pedras vermelhas}} = \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{a}{v} = \frac{3}{8} \Rightarrow \fbox{v = \frac{8a}{3}}\)

... e a razão entre pedras brancas e azuis é de 5\6.

\(\frac{\text{pedras brancas}}{\text{pedras azuis}} = \frac{5}{6} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{5}{6} \Rightarrow \fbox{b = \frac{5a}{6}}\)

O total de pedras é dado pela soma: pedras azuis + pedras brancas + pedras vermelhas

\(a + b + v =\)

\(a + \frac{5a}{6} + \frac{8a}{3} =\)

\(\frac{a}{1/18} + \frac{5a}{6/3} + \frac{8a}{3/6} =\)

\(\frac{18a + 15a + 48a}{24} =\)

\(\fbox{\fbox{\frac{81a}{24}}}\)

Essa razão acima, deve ser igualada as alternativas. A resposta correta será aquela cujo valor de \(a\) é exato!!

[core]

Ok Obrigado
A resposta deu exatos 162.

Porém não entendi o porque a resposta correta será aquela cujo valor de a é exato?
Onde eu encontro tal teoria, pois não lembro.

Obrigado!

[danjr5]

Prezado Core,
o enunciado como apresentado, não nos permite chegar a uma resposta EXATA para o número total de pedras no vaso. Por isso, a única (acredito) forma de chegarmos a resposta desejada é testando as alternativas.
O único fato que podemos afirmar, sem risco de errar, é que o número total de pedras é múltiplo de 81, pois o denominador é dado por \(81 \cdot a\).