(IME) Potência: p^n + 144 = q²

[danjr5]

Olá pessoal, segue uma questão discursiva que achei bem interessante e gostaria de compartilhar com os amigos!

Seja a equação \(p^n + 144 = q^2\), onde \(n\) e \(q\) são números inteiros positivos e \(p\) é um número primo. Determine os possíveis valores de \(n\), \(p\) e \(q\).

[Rui Carpentier]

\(p^n+144=q^2\Leftrightarrow p^n=(q+12)(q-12)\). Logo, \(q+12=p^a\) e \(q-12=p^b\), com \(a+b=n\), pelo que \(p^a-p^b=24\Leftrightarrow p^b(p^{a-b}-1)=2^3\times 3\). Portanto p divide 24 pelo que p=2 ou p=3.
Se p=2 então b=3 e a-b=2 logo n=8 e q=20. Se p=3 então b=1 e a-b=2 logo n=4 e q=15.

[santhiago]

Dados \(m,k\) naturais tais que \(m+k = n\) . Tomando-se \(p_0 = p^m = p^k -24\) .Podemos definir \(p^n = p_0(p_0 +24)\) , logo obtemos \(q = p_0 + 12\) .Agora vamos determinar , \(p_0\) ,isto é , vamos encontrar \(p^k , p^m\) naturais com \(p\) primo tais que \(p^n = p_0(p_0 +24)\) . Como \(p_0 = p^m = p^k -24\) resulta \(p^k -p^m = 24 = 2^3 \cdot 3 = p^{m}(p^{k-m} - 1)\) ,logo \(2^3 = p^m\) e \(p^{k-m} - 1 = 3\) ou \(p^{m} = 3\) e \(p^{k-m} - 1 = 2^3\) . Cabe análisar cada caso .Espero que esteja correto .

[Fraol]

Boa noite,

Estava olhando as soluções dos colegas acima e resolvi participar usando uma abordagem diferente, eis:

Olá pessoal, segue uma questão discursiva que achei bem interessante e gostaria de compartilhar com os amigos!

Seja a equação \(p^n + 144 = q^2\), onde \(n\) e \(q\) são números inteiros positivos e \(p\) é um número primo. Determine os possíveis valores de \(n\), \(p\) e \(q\).

Reescrevendo a expressão temos: \(q^2 = \left( p^{\frac{n}{2}} \right)^2 + 12^2\) que é pitagórica. Então usando o triângulo 3, 4, 5 como parâmetro, temos que:

\(12 = 3 \cdot 4\), então os demais lados do triângulo retângulo são 16 e 20. Isso nos dá: n=8, p=2, q=20.

ou

\(12 = 4 \cdot 3\), então os demais lados do triângulo retângulo são 9 e 15. Isso nos dá n=4, p=3, q=15.

Saindo da famosa tripla pitagórica existe um único outro triângulo retângulo com um dos catetos igual a 12. Remanejando a nossa última expressão:

\(\left( p^{\frac{n}{2}} \right)^2 = q^2 - 12^2\). Observe-se que devemos ter \(q > 12\). E, num passe de sorte, temos que \(q =13\) satisfaz as condições do problema. Isso nos dá n=2, p=5, q=13.

Ou seja temos 3 soluções, todas com p primo.

[Rui Carpentier]

Boa noite,

Estava olhando as soluções dos colegas acima e resolvi participar usando uma abordagem diferente, eis:

Olá pessoal, segue uma questão discursiva que achei bem interessante e gostaria de compartilhar com os amigos!

Seja a equação \(p^n + 144 = q^2\), onde \(n\) e \(q\) são números inteiros positivos e \(p\) é um número primo. Determine os possíveis valores de \(n\), \(p\) e \(q\).

Reescrevendo a expressão temos: \(q^2 = \left( p^{\frac{n}{2}} \right)^2 + 12^2\) que é pitagórica. Então usando o triângulo 3, 4, 5 como parâmetro, temos que:

\(12 = 3 \cdot 4\), então os demais lados do triângulo retângulo são 16 e 20. Isso nos dá: n=8, p=2, q=20.

ou

\(12 = 4 \cdot 3\), então os demais lados do triângulo retângulo são 9 e 15. Isso nos dá n=4, p=3, q=15.

Saindo da famosa tripla pitagórica existe um único outro triângulo retângulo com um dos catetos igual a 12. Remanejando a nossa última expressão:

\(\left( p^{\frac{n}{2}} \right)^2 = q^2 - 12^2\). Observe-se que devemos ter \(q > 12\). E, num passe de sorte, temos que \(q =13\) satisfaz as condições do problema. Isso nos dá n=2, p=5, q=13.

Ou seja temos 3 soluções, todas com p primo.

Caro fraol,

trata-se de uma bela resolução e fez-me ver que a minha está incompleta. De facto, esqueci-me de considerar o caso em que b=0 (neste caso p não tem de necessariamente dividir 24). Com b=0 temos que \(q=12+p^0=13\), logo \(p^n=13^2-12^2=25=5^2\) pelo que p=5 e n=2 (como já tinha sido por si visto).