Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15 [resolvida]
05 jul 2013, 14:21
Fatorar
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
Analisei o exercício e pensei em decompor o número 15, de modo que
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+2.7+1\)
Então, vi uma soma de cubos
\(f(a)=(a+1)(a^{2}-a+1)-7(a^{2}-a-2)\)
Não consigo prosseguir. Será que há como avançar ou optei pelo caminho errado?
Obrigado.
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
Analisei o exercício e pensei em decompor o número 15, de modo que
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+2.7+1\)
Então, vi uma soma de cubos
\(f(a)=(a+1)(a^{2}-a+1)-7(a^{2}-a-2)\)
Não consigo prosseguir. Será que há como avançar ou optei pelo caminho errado?
Obrigado.
Editado pela última vez por danjr5 em 06 jul 2013, 02:04, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar Título
Razão: Arrumar Título
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
08 jul 2013, 02:03
foi pelo caminho errado.
Repare que \(-1\) é raiz do polinómio, logo basta usar a regra de Rufini
Repare que \(-1\) é raiz do polinómio, logo basta usar a regra de Rufini
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
10 jul 2013, 16:10
João P. Ferreira Escreveu:foi pelo caminho errado.
Repare que \(-1\) é raiz do polinómio, logo basta usar a regra de Rufini
Oi João P. Ferreira,
Infelizmente não aprendi isso na escola ainda. Como você descobrui a raiz? O que é a regra de Rufini?
Obrigado.
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
10 jul 2013, 16:49
Vc está perante um polinómio de grau 3 pois o maior termo é \(a^3\)
Se \(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
repare que \(f(-1)=0\) pois se substituir a por \(-1\) o resultado dá zero.
Ou seja
\(f(-1)=(-1)^{3}-7(-1)^{2}+7(-1)+15=-1-7-7+15={0}\)
Se aplicar a regra de Rufini sabendo que \(-1\) é uma raiz, acha um polinómio restante de grau 2.
Ou seja vc vai querer dividir \(f(x)=x^{3}-7x^{2}+7x+15\) por \(d(x)=x+1\) usando a regra de Rufini
O resultado dessa divisão será um polinómio de grau 2, depois acha os zeros desse polinómio pela fórmula resolvente das equações do segundo grau
Se \(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
repare que \(f(-1)=0\) pois se substituir a por \(-1\) o resultado dá zero.
Ou seja
\(f(-1)=(-1)^{3}-7(-1)^{2}+7(-1)+15=-1-7-7+15={0}\)
Se aplicar a regra de Rufini sabendo que \(-1\) é uma raiz, acha um polinómio restante de grau 2.
Ou seja vc vai querer dividir \(f(x)=x^{3}-7x^{2}+7x+15\) por \(d(x)=x+1\) usando a regra de Rufini
O resultado dessa divisão será um polinómio de grau 2, depois acha os zeros desse polinómio pela fórmula resolvente das equações do segundo grau
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
10 jul 2013, 17:16
Oi João P. Ferreira,
Muito obrigado pelas explicações. Interessei-me pela regra de Ruffini e vou estudá-la bastante!
Contudo, ainda restou-me uma dúvida. Como descobrir a raiz(ou raízes) de uma equação de 3º grau? Isto é, devo testar números ou há alguma fórmula?
Obrigado.
Muito obrigado pelas explicações. Interessei-me pela regra de Ruffini e vou estudá-la bastante!
Contudo, ainda restou-me uma dúvida. Como descobrir a raiz(ou raízes) de uma equação de 3º grau? Isto é, devo testar números ou há alguma fórmula?
Obrigado.
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
11 jul 2013, 01:25
Olá
Existe um método algo complexo, o método de Cardano-Tartaglia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_c%C3%BAbica
Todavia, não é isso que normalmente se pede. Normalmente neste tipo de exercícios, há sempre uma raiz que é fácil achar, por exemplo -2,-1,0,1 ou 2. É uma questão de tentativa-erro
Existe um método algo complexo, o método de Cardano-Tartaglia
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_c%C3%BAbica
Todavia, não é isso que normalmente se pede. Normalmente neste tipo de exercícios, há sempre uma raiz que é fácil achar, por exemplo -2,-1,0,1 ou 2. É uma questão de tentativa-erro
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
11 jul 2013, 13:32
Oi João P. Ferreira,
Entendi todos seus ensinamentos.
Muito obrigado pela atenção!
Entendi todos seus ensinamentos.
Muito obrigado pela atenção!
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
11 jul 2013, 18:06
vestibulando123 Escreveu:Oi João P. Ferreira,
Entendi todos seus ensinamentos.
Muito obrigado pela atenção!
sempre às ordens meu caro, estamos aqui para ajudar
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
14 jul 2013, 21:49
Oi João P. Ferreira,
Estive estudando o exercício e me vieram algumas dúvidas.
Fiz uma resolução através de um método diferente.
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
\(f(a)=a^{3}-3a^{2}-4a^{2}+12a-5a+15\)
\(f(a)=a^{2}.(a-3)-4a.(a-3)-5.(a-3)\)
\(f(a)=(a-3).(a^{2}-4a-5)\)
\(f(a)=(a-3).(a^{2}-5a+a+(-5).(1))\)
\(f(a)=(a-3).[a.(a-5)+1.(a-5)]\)
\(f(a)=(a-3).(a-5).(a+1)\)
Está correto o meu modo de resolução?
Tenho uma dúvida sobre a regra de Briot-Ruffini: apenas é válida para expressões de grau terciário? Qual expressão é correta? Em qual ocasião?
\(D(x)=x-\alpha\)
ou
\(D(x)=x+\alpha\)
Porque o valor 1? E a raiz da equação, qual a participação dela na regra de Briot-Ruffini?
Como é algo novo para mim, estou repleto de dúvidas.
Obrigado.
Estive estudando o exercício e me vieram algumas dúvidas.
Fiz uma resolução através de um método diferente.
\(f(a)=a^{3}-7a^{2}+7a+15\)
\(f(a)=a^{3}-3a^{2}-4a^{2}+12a-5a+15\)
\(f(a)=a^{2}.(a-3)-4a.(a-3)-5.(a-3)\)
\(f(a)=(a-3).(a^{2}-4a-5)\)
\(f(a)=(a-3).(a^{2}-5a+a+(-5).(1))\)
\(f(a)=(a-3).[a.(a-5)+1.(a-5)]\)
\(f(a)=(a-3).(a-5).(a+1)\)
Está correto o meu modo de resolução?
Tenho uma dúvida sobre a regra de Briot-Ruffini: apenas é válida para expressões de grau terciário? Qual expressão é correta? Em qual ocasião?
\(D(x)=x-\alpha\)
ou
\(D(x)=x+\alpha\)
Porque o valor 1? E a raiz da equação, qual a participação dela na regra de Briot-Ruffini?
Como é algo novo para mim, estou repleto de dúvidas.
Obrigado.
Re: Fatore f(a) = a³ - 7a² + 7a + 15
14 jul 2013, 22:15
Caro
O seu método está certíssimo
Vá ao wolfram alpha
e coloque
solve x^3-7x^2+7x+15=0
O método que referi o que faz é, com um polinómio \(p(x)\) de grau \(n\), e sabendo uma raiz, ele acha um polinómio \(p'(x)\) de grau \(n-1\) em que as raízes de \(p'(x)\) são as raízes de \(p(x)\) para qualquer \(n\) inteiro positivo maior que 1
O seu método está certíssimo
Vá ao wolfram alpha
e coloque
solve x^3-7x^2+7x+15=0
O método que referi o que faz é, com um polinómio \(p(x)\) de grau \(n\), e sabendo uma raiz, ele acha um polinómio \(p'(x)\) de grau \(n-1\) em que as raízes de \(p'(x)\) são as raízes de \(p(x)\) para qualquer \(n\) inteiro positivo maior que 1