Se a+b+c=0, podemos dizer que (a²+b²+c²)² é

[vestibulando123]

Oi pessoal,

Estou com uma dificuldade considerável nesse exercício.

Se\(a+b+c=0\)

\((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=?\)

Pois bem, pensei em vários caminhos e, após algumas tentativas, percebi que o melhor caminho seria o quadrado do trinômio.

\((a+b+c)^{2}=0\)

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc=0\)

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}+2.(ab+ac+bc)=0\)

\(a^{2}+b^{2}+c^{2}=-2.(ab+ac+bc)\)

Novamente, um quadrado do trinômio

\((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=[-2.(ab+ac+bc)]^{2}\)

\((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4.(ab+ac+bc)^{2}\)

\((a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4.(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}+2a^{2}bc+2ab^{2}c+2abc^{2})\)

Não consigo prosseguir, pessoal.

Obrigado.

[Rui Carpentier]

Não percebo bem o que se pede na questão.

Se se trata de determinar os possíveis valor de \((a^2+b^2+c^2)^2\) sobe a condição \(a+b+c=0\) então a resposta é todos os valores reais não-negativos. Isto porque \((a^2+b^2+c^2)^2=||(a,b,c)||^4\) é a quarta potência do comprimento do vetor \((a,b,c)\), e \(a+b+c=0\) define um subespaço de \(R^3\) (contem vetores de todos os tamanhos de zero a mais infinito).

Se se trata de definir a expressão \((a^2+b^2+c^2)^2\) em função de variáveis livres (a e b por exemplo) então basta fazer a substituição \(c=-a-b\) e obtem-se \((a^2+b^2+(-a-b)^2)^2=4[a^4+b^4+3(ab)^2+2ab(a^2+b^2)]\).

PS- o editor de tex não estava a funcionar neste post.

[João P. Ferreira]

Olá professor

Muito obrigados pela contribuição.

Por vezes o tex não funciona para numerais isolados, por exemplo 1+1=2 pode não funcionar. É um pequeno bug.

Neste caso basta colocar parêntesis à volta dos numerais, ou seja {1+1}={2} o que dá \({1+1}={2}\)

Muito obrigados

[Rui Carpentier]

Por vezes o tex não funciona para numerais isolados, por exemplo 1+1=2 pode não funcionar. É um pequeno bug.

Neste caso basta colocar parêntesis à volta dos numerais, ou seja {1+1}={2} o que dá \({1+1}={2}\).

Caro João,
Obrigado pela informação que pode vir a ser útil no futuro. No entanto não sei se o problema era esse, simplesmente não surgia o editor de tex, \(\left[tex\right]\left[/tex\right]\) ao clicar o botão tex.

PS- Provavelmente teria resultado ter escrito \(\left[tex\right]\) antes da expressão e \(\left[/tex\right]\) a finalizar mas não me lembrei de tal.

[João P. Ferreira]

Ok professor

Tentarei ver, se o problema se volta a repetir para tentar encontrar uma resolução.

Mais uma vez, muito obrigados pela magna contribuição. Confesso que já tinha olhado para o problema, mas não consegui dar com o resultado, mas numa ótica de espaços lineares realmente é bem mais compreensível

Muito obrigados

[vestibulando123]

Muito obrigado pela contribuição, professor Rui Carpentier!