Indução Finita

[Man Utd]

Sendo \(n\geq 2\),então prove que \(n!>(\frac{n}{3})^{n}\) .

provando para n=1:
1!>(1/3)^1
1>1/3------verdadeiro

supondo que a hipótese é verdadeira para n=k:
\(k!>(\frac{k}{3})^{k}\)

Devemos provar para n=k+1:
\((k+1)!>(\frac{k+1}{3})^{k+1}\)

Partindo da Hipótese e multiplicando os dois lados por \((k+1)\) (já que sabemos que é sempre positivo):
\(\\\\ (k+1)k!>(\frac{k}{3})^{k}*(k+1) \\\\ (k+1)!>(\frac{k}{3})^{k}*(k+1)\)

não to conseguindo sair desta parte,algumas dicas?

[Rui Carpentier]

Uma dica. Poderá encontrar num bom texto de Cálculo/Análise Matemática a demonstração do facto (não-trivial) de que a sucessão \(\left(\frac{n+1}{n}\right)^n\) é crescente com limite \(e<3\). Como consequencia, temos que a sua inversa \(\left(\frac{n}{n+1}\right)^n\) é decrescente com limite \(e^{-1}>\frac{1}{3}\).
Sabendo isto o exercício desata-se observando que \(\left(\frac{k}{3}\right)^k=\left(\frac{k+1}{3}\right)^k\left(\frac{k}{k+1}\right)^k\).
Depois disto é fácil prosseguir.