Problema com idades de pessoas, considerando números múltiplos

[alexandre]

Boa Tarde!

Tenho o problema abaixo para ser resolvido, mas não consigo desenvolvê lo. Peço auxílio aos colegas na sua resolução. Obrigado!

Alexandre

Anexos

múltiplos.jpg (140.55 KiB) Visualizado 3148 vezes

[Mauro]

Boa Tarde!

Tenho o problema abaixo para ser resolvido, mas não consigo desenvolvê lo. Peço auxílio aos colegas na sua resolução. Obrigado!

Alexandre

Caro Alexandre, eu vou dar uma volta muito grande e tentar resolver por álgebra. Se eu estiver correto, a resposta será a última opção, a letra 'd':

Pensei na data de hoje, como data hipotética para base de cálculo. Vou chamar hoje como 'h'.

Assim, o hoje vale tanto para Eva quanto para Roberto.

Para Eva:

\((h-7) - 8a = 0 \text{ (1)}\)

Isto porque 7 anos antes da data de hoje (h) era um ano múltiplo de 8. Então fazendo a operação inversa da divisão por 8 encontrarei aqueles anos. A diferença entre os dois valores é, naturalmente, zero. O quociente da divisão por 8 eu não sei e chamei de 'a'.

Eva também será

\((h + 8) - 7b = 0\)

Isto porque 8 anos à frente da data de hoje (h) será um ano múltiplo de 7. Então fazendo a operação inversa da divisão por 7 encontrarei aqueles anos. A diferença entre os dois valores é, naturalmente, zero. O quociente da divisão por 7 eu não sei e chamei de 'b'.

Para Roberto, temos uma situação parecida:

\((h - 8) - 7c = 0\)
e
\((h - 7) - 8d = 0\)

Algumas situações interessantes devem ser apreciadas:
a) todas as equações resultam em zero.
b) a soma a+b e a soma c+b resultam em 15.

Assim, para Eva

\(h-7-8a=h+8-7b=0\)

ou

\(h-7-8a-h-8+7b=0\)

\(7b-8a=15\text{ (2)}\)

Sabemos também que

\(a+b=15\)

logo

\(a=15-b\)

Em (2)

\(7b-8(15-b)=15\)

que resulta

\(b=9\)

e, por consequência,

\(a=6\)

Agora que sabemos 'a' e 'b', podemos voltar em (1):

\((h-7) - 8 \times 6 = {0}\)

\(h-7 - 48 = {0}\)

\(h={55}\)

Se o ano hipotético equivalente a hoje vale 55, então, para Eva, 7 anos antes

55-7=48

e para Roberto, 8 anos antes,

55-8=47.

As idades per si não são superiores a 100 anos e nem sua soma.

Roberto é 1 ano mais novo que Eva.

Será que acertei?

Abração,
Mauro

[alexandre]

Boa noite, Mauro!

Antes de qualquer coisa, agradeço pela ajuda ao dar atenção e disponibilizar o seu valioso tempo na resolução deste problema. O gabarito da questão é a letra A. O desenvolvimento de sua questão é muito bem feito, só não entendi quando você cosiderou "h" como sendo data atual, pois, quando colocada na equação, em meu entendimento, ela representa a idade da pessoa e não uma data (posso estar errado) daí talvez a possibilidade de não ter dado a resposta do gabarito. Em cima de seu raciocínio vou continuar tentando.

Um Grande Abraço!!!

Alexandre

[Mauro]

Boa noite, Mauro!

Antes de qualquer coisa, agradeço pela ajuda ao dar atenção e disponibilizar o seu valioso tempo na resolução deste problema. O gabarito da questão é a letra A. O desenvolvimento de sua questão é muito bem feito, só não entendi quando você cosiderou "h" como sendo data atual, pois, quando colocada na equação, em meu entendimento, ela representa a idade da pessoa e não uma data (posso estar errado) daí talvez a possibilidade de não ter dado a resposta do gabarito. Em cima de seu raciocínio vou continuar tentando.

Um Grande Abraço!!!

Alexandre

Caro Alexandre, está errado mesmo. Uma simples verificação se vê que a idade de Roberto não combina o número dado para satisfazer aos múltiplos.
Peço desculpas.

Vou continuar tentando.

Abração,
Mauro

[Mauro]

Boa Tarde!

Tenho o problema abaixo para ser resolvido, mas não consigo desenvolvê lo. Peço auxílio aos colegas na sua resolução. Obrigado!

Alexandre

Caro Alexandre, refazendo tudo. (Editado mais uma vez)

Façamos, como sugerido por você, a idade de Eva como 'E' e 'R' para Roberto as procuradas.

Então, para Eva, temos

\((E-7)-8a = 0\)

e

\((E+8)-7b = 0\)

Isto que dizer que

\(E-7-8a=E+8-7b=0\)

\(7b-8a=15 \text{ (1)}\)

Como a+b=15

\(a=15-b\)

Vamos aplicar isto em (1):

\(7b-8\times(15-b)=15\)

\(b=9\)

Logo,

\(a={6}\)

Pegando o primeiro dado de Eva:

\((E-7)-8 \times 6={0}\)

vem que
\(E={55}\)

Agora vamos ao Roberto:

\((R-8)-7c={0}\)

e

\((R+7)-8d=0\)

\((R-8) -7c = (R+7)-8d\)

\(8d-7c={15} \text{ (2)}\)

\(c=15-d\)

Aplicando em (2)

\(8d - 7(15-d)={15}\)

\(8d+7d={120}\)

\(d={8}\)

Logo, c=7.

Pegando o primeiro dado de Roberto,

\((R-8)-7c={0}\)

\((R-8)-7 x 7 ={0}\)

\(R={57}\)

Assim, realmente a resposta é mesmo a letra 'A'. Roberto tem 2 anos a mais que Eva.

Espero ter sido lógico agora(!),

abração
Mauro

[alexandre]

Boa Noite, Mauro !

No desenvolvimento da questão, utilizei o seu raciocínio e cheguei a mesma conclusão que você, dando o resultado correto .

Agradeço muito, mais uma vez, o tempo e atenção dispensada . Um grande abraço!

Alexandre