Desafio - Equação do segundo grau

[vestibulando123]

Resolva

\(\sqrt{7-\sqrt{7+x}}=x\)

[vestibulando123]

Pensei em elevar ambos os lados ao quadrado, através da propriedade

\((\sqrt{x})^2=|x|\)

tal que

\(|x|=x\) se \(x\geq 0\)

e

\(|x|=-x\) se \(x< 0\)

Então

\((\sqrt{7-\sqrt{7+x}})^2=x^2\)

Sendo

\(\sqrt{7+x}=y\)

\((\sqrt{7-y})^2=x^2\)

Aplicando a definição de módulo

\(|7-y|=x^2\)

\(-7+y=x^2\)

\(-7+\sqrt{7+x}=x^2\)

\(\sqrt{7+x}=x^2+7\)

Elevando ambos os membros ao quadrado novamente

\((\sqrt{7+x})^2=(x^2+7)^2\)

\(|7+x|=(x^2+7)^2\)

\(7+x=x^4+14x^2+49\)

\(x^4+14x^2-x+42=0\)

Considerando a equação como biquadrada, seria conveniente o uso de uma equação resolvente.

Então

\(x^2=t\)

\(t^2+14t+\sqrt{t}+42=0\)

ou

\(t^2+14t-\sqrt{t}+42=0\)

Não sei como avançar, nem se devo.

Meu desenvolvimento foi 'nefelibata' ou tem lógica?

Um abraço!

[vestibulando123]

Mas que coisa, acho que o LaTeX está com problemas!!