Aritmética, A=3^(2n+1)+2^(n+2) é divisível pelo 7

[marques_gc]

Olá ilustres,

Tenho mais este exercício a fazer, mas não consigo arancar sozinho a vossa preciosa ajuda é bem-vinda.

Seja um inteiro natural qualquer n\(\epsilon\)N

a) Demonstre que o número A definida por \(A=3^{2n+1}+2^{n+2}\) é divisível pelo 7

O meu racionamento sem convicção é seguinte:

Devemos provar que A é divisível por 7.
Seja A=7q, com q inteiro.
Sabendo que todo natural n pode ser escrito 7p, ou 7p+1, ou 7p+2.

Até aqui tudo bem e como disse sem convicção.

Agradeço o tempo desde já.

Abraços

[Leonardo]

A Demonstração dessa resolução ocorrerá por Método de Indução Finita:

Onde seguiremos os seguintes passos:

(i)- Provar por n(1) que é divisível por 7:

Temos:\(n(1)= 3^{2*1+1}+2^{^1+2}=\)
\(n(1)= 35\)
\(n(1)= 5.7\) é divisível por 7.

(ii)-Considerando que n(k) é verdadeiro:

\(n(k)= 3^{2k+1} +2^{k+2}\)
\(n(k)= 3^{2k}*3 +2^{k}*4\)

(iii)Provemos que n(k+1) também é verdadeiro:

\(n(k+1)= 3^{2(k+1)+1} +2^{(k+1)+2}\)
DESENVOLVENDO, TEMOS:
\(n(k+1)= 3^{2k}*3*9 +2^{k}*8\)
\(n(k+1)= 3^{2k}*3*(7+2)+2^{k}*4*2\)
\(n(k+1)= 3^{2k}*3*7+3^{2k}*3*2+2^{k}*4*2\)
\(n(k+1)= 3^{2k}*3*7+2(3^{2k}*3+2^{k}*4)\)
COMO\((3^{2k}*3+2^{k}*4)\) É N(K) ENTÃO É DIVISÍVEL POR 7 E ESSA PARCELA TAMBÉM É DIVISÍVEL POR 7.
JÁ A OUTRA PARCELA \(3^{2k}*3*7\) É DO TIPO \(7Q\)
LOGO É DIVISÍVEL POR 7, ENTÃO A SOMA DE PARCELAS DIVISÍVEIS POR 7, RESULTA EM UM MONTANTE DIVISÍVEL POR 7.
LOGO N(K+1) É VERDADEIRO E POR INDUÇÃO FINITA A EXPRESSÃO É VERDADEIRA.

[marques_gc]

Muito obrigado pela rípides e a forma como pudeste explicar os passos para a realização do atual exercício.
Confirmo a minha fraca competência nesta matéria "aritmética", mas vou esforçar em perceber os pormenores que realizaste na resolução

Abraços

[Leonardo]

Meus cumprimentos , meu caro!