Radiciação com raizes cúbicas
23 nov 2013, 13:34
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}\)
Re: Radiciação - URGENTE
26 nov 2013, 12:25
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{243}{27}+\frac{125}{27}}}= \sqrt[3]{3+\sqrt{\frac{368}{27}}}-\sqrt[3]{-3+\sqrt{\frac{368}{27}}}=...\)
não consigo avançar mais, nem acho que seja possível...
não consigo avançar mais, nem acho que seja possível...
Re: Radiciação - URGENTE
26 nov 2013, 12:28
exacto... também cheguei à mesma conclusão 
Re: Radiciação - URGENTE
26 nov 2013, 13:35
Olá Ana, eu também fiquei como tu 
Mas agora pensando melhor, em último caso, pode tentar-se ver pelo caso notável da diferença da dois cubos, mas acho que complica
\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) logo
\(x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}\)
talvez dê, não sei...
Mas agora pensando melhor, em último caso, pode tentar-se ver pelo caso notável da diferença da dois cubos, mas acho que complica
\(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\) logo
\(x-y=\frac{x^3-y^3}{x^2+xy+y^2}\)
talvez dê, não sei...
Re: Radiciação com raizes cúbicas
27 nov 2013, 00:10
Parece fácil essa ... segue o raciocínio ( pode ser que eu erre em alguma passagem) :
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = x\)
\(\left ( \sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} \right )^{3} = x^{3}\)
Segue que para todo a e b reais a igualdade abaixo se cumpre :
\(\left ( a-b \right )^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)\)
Então, temos que :
\(\left ( 3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = a^{3}\)
\(\left ( -3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = b^{3}\)
Usando o produto notável e simplificando, vem :
\(x^{3} = \left ( 3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - \left ( -3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - 3x \sqrt[3]{\left ( 3+\sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )\left ( -3+ \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )}\)
Note que : ( Produto notável da diferença entre quadrados)
\(\left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} - 3 \right ) \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} + 3 \right ) = \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} \right )^{2} - 3^{2}\)
Daí :
\(x^{3} = 6 - 3 x \sqrt[3]{9 + \frac{125}{27} - 9}\)
\(x^{3} = 6 - 3x\left ( \frac{5}{3} \right )\)
Cheguei até aqui ....
\(x^{3} + 5x - 6 = 0\)
Note que \(x^{3} + 5x - 6 = (x-1)(x^{2} + x + 6) = 0\)
que implica que a única raiz real é x = 1 pois as outras duas são complexas.
\(\sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} = x\)
\(\left ( \sqrt[3]{3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} - \sqrt[3]{- 3+\sqrt{9+\frac{125}{27}}} \right )^{3} = x^{3}\)
Segue que para todo a e b reais a igualdade abaixo se cumpre :
\(\left ( a-b \right )^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)\)
Então, temos que :
\(\left ( 3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = a^{3}\)
\(\left ( -3 + \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right ) = b^{3}\)
Usando o produto notável e simplificando, vem :
\(x^{3} = \left ( 3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - \left ( -3+ \sqrt{9 +\frac{125}{27} \right ) - 3x \sqrt[3]{\left ( 3+\sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )\left ( -3+ \sqrt{9 + \frac{125}{27}} \right )}\)
Note que : ( Produto notável da diferença entre quadrados)
\(\left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} - 3 \right ) \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} + 3 \right ) = \left ( \sqrt{9+\frac{125}{27}} \right )^{2} - 3^{2}\)
Daí :
\(x^{3} = 6 - 3 x \sqrt[3]{9 + \frac{125}{27} - 9}\)
\(x^{3} = 6 - 3x\left ( \frac{5}{3} \right )\)
Cheguei até aqui ....
\(x^{3} + 5x - 6 = 0\)
Note que \(x^{3} + 5x - 6 = (x-1)(x^{2} + x + 6) = 0\)
que implica que a única raiz real é x = 1 pois as outras duas são complexas.
Re: Radiciação com raizes cúbicas
27 nov 2013, 10:17
Epah, excelente meu caro
parabéns Phelipeth
muito obrigado pela partilha, seja sempre muito bem-vindo
um abraço
parabéns Phelipeth
muito obrigado pela partilha, seja sempre muito bem-vindo
um abraço