Simplifique a expressão com radicais duplos

[Vicenti]

\(\frac{\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}-\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}}{\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}}\)

Resposta: \(\sqrt{2}\)

Dica: igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados.

Só para constar, copiei este exercício de outro fórum de matemática, ninguém soube ajudar.. alguém saberia como resolver?

[Sobolev]

A sugestão é boa... Trata-se apenas de realizar os cálculos:

\(x^2 = \frac{(\sqrt[4]{8} +\sqrt{\sqrt{2}-1}) - 2 \sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}\cdot \sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}} + (\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}} = \frac{2 \sqrt[4]{8} - 2 \sqrt{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=
=2 \cdot \frac{\sqrt[4]{8} - \sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}} = 2 \cdot \frac{\sqrt[4]{8} - \sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}=2 \cdot \frac{\sqrt[4]{8} - \sqrt{\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}} = \mathrm{2}\)

Finalmente, se \(x^2 = 2\), e uma vez que x é positivo, teremos \(x = \sqrt{2}.\)

[Vicenti]

Olá Sobolev, estudei sua resposta e pelo que entendi, como os dois lados foi elevado ao quadrado a primeira parte da expressão seguiu os seguinte ideia: \(a + b - 2\sqrt{a.b}\) ficando da seguinte forma: \(x^{2} = \frac{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})-2\sqrt{\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1}}*\sqrt{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}}+(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\) porém, não consegui entender como você fez para chegar disso: \(\frac{2\sqrt[4]{8}-2\sqrt{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})*(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\) para isto: \(2*\frac{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{8}-(\sqrt{2}-1)}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\)

por favor desculpem minha ignorância, radical duplo é algo novo para mim!

[Sobolev]

O passo que não entendeu resulta simplesmente do cálculo do produto dentro da raiz. É um produto da forma
\((a+b)(a-b) = a^2-b^2\)

Concretamente,

\((\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1}) = (\sqrt[4]{8})^2 - (\sqrt{\sqrt{2}-1})^2 = \sqrt{8} - (\sqrt{2}-1)\)

[Vicenti]

Olá, perdoe-me por reabrir este tópico depois de tanto tempo, algumas coisas básicas ainda não ficaram esclarecidas para mim, como por exemplo:

1) O que acontece com o 2 que está multiplicando a \(\sqrt{a*b}\) :
\(\frac{2\sqrt[4]{8}-2\sqrt{(\sqrt[4]{8}+\sqrt{\sqrt{2}-1})*(\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}-1})}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\)

2) O que acontece com este \(2\sqrt{2}\) :
\(2 \cdot \frac{\sqrt[4]{8} - \sqrt{2\sqrt{2}-\sqrt{2}+1}}{\sqrt[4]{8}-\sqrt{\sqrt{2}+1}}\)

Agradeço novamente qualquer ajuda se possível!

[Sobolev]

Não há problema em reabrir o tópico!

1) O 2 que refere foi colocado em evidência no numerador (repare que as duas parcelas no numerador estão multiplicadas por 2)

2) \(2 \sqrt{2}-\sqrt{2} + 1 = \sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{2} + 1 = \sqrt{2}+1\)