Radiciação + Produtos Notáveis

[Aprendiz Matemática]

Olá!

A questão a seguir é da UFRGS:
Sendo \(n>1\), a expressão \(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}\) é equivalente a?
Resp.: \(\frac{n-\sqrt{n}}{n(n-1)}\)

Pensei em racionalizar as frações, daí fica \(\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n}-1}{n-1}\) e então colocar em evidência o denominador, que ficaria \(n(n-1)\). Estou em dúvidas se realmente posso colocar em evidência nesse caso, porque não consegui fazer o mesmo no numerador...
Alguém sabe como resolver isso?

Um abraço!

[Sobolev]

Tem que reduzir ao mesmo denominador e racionalizar.

\(\frac{1}{\sqrt{n}} - \frac{1}{\sqrt{n}-1} = \frac{\sqrt{n}-1 -\sqrt{n}}{\sqrt{n}(\sqrt{n}-1)} = -\frac{1}{n -\sqrt{n}} = -\frac{n + \sqrt{n}}{(n-\sqrt{n})(n+\sqrt{n})} = \frac{n+\sqrt{n}}{n^2-n} = \frac{n+\sqrt{n}}{n(n-1)}\)

[Aprendiz Matemática]

Olá, Sobolev!

Compreendi tão bem a sua resolução que adaptei ela ao que imaginei primeiramente (é que quando vejo uma raiz no denominador, racionalizo antes de tudo). Segue:

\(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n}+1}=\frac{\sqrt{n}}{n}-\frac{\sqrt{n}-1}{n-1}=\frac{\sqrt{n}(n-1)-n(\sqrt{n}-1)}{n(n-1)}=\frac{n-\sqrt{n}-n+n}{n(n-1)}=\frac{n-\sqrt{n}}{n(n-1)}\)

Obrigada!

[Sobolev]

Muito bem, é isso mesmo!